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Puisque l’on a identiquement

$\Omega =\mathrm {M} +(x-\mathrm {A} )\,\xi +(y-\mathrm {B} )\,\eta +(z-\mathrm {C} )\,\zeta +\ldots ,$

ou aura aussi

$\mathrm {M} =\Omega ^{0}-x^{0}\xi ^{0}-y^{0}\eta ^{0}-z^{0}\zeta ^{0}-\ldots .$

De là, il résulte évidemment que $\mathrm {M}$ est une fonction homogène du deuxième degré des erreurs $e$, $e'$, $e''$, etc. ; cette fonction pour diverses valeurs des erreurs pourra devenir plus ou moins grande. Dans l’ignorance où nous sommes de ces valeurs, il est bon d’examiner attentivement la fonction $\mathrm {M}$, et de calculer d’abord sa valeur moyenne d’après les principes du calcul des probabilités. Nous obtiendrons cette valeur moyenne en remplaçant les carrés $e^{2}$, ${e'}^{2}$, etc., par $m^{2}$, ${m'}^{2}$, etc., et en omettant les termes en $ee'$, $ee''$, etc., dont la valeur moyenne est zéro ; ou, ce qui revient au même, en remplaçant chaque carré $\varepsilon ^{2}$, ${\varepsilon '}^{2}$, ${\varepsilon ''}^{2}$, $\ldots$, par $\mu ^{2}$, et en négligeant $\varepsilon \varepsilon '$, $\varepsilon \varepsilon ''$, $\ldots$. D’après cela, le terme $\Omega ^{0}$ fournira $\varpi \mu ^{2}$ ; le terme $-x^{0}\xi ^{0}$ donnera

$-(a\,\alpha +a'\,\alpha '+a''\,\alpha ''+\ldots )\,\mu ^{2}=-\mu ^{2};$

chacune des autres parties donnera également $-\mu ^{2}$, de sorte que la valeur moyenne totale sera

$(\varpi -\rho )\,\mu ^{2},$

$\varpi$ désignant le nombre des observations, et $\rho$ le nombre des inconnues. La vraie valeur de $\mathrm {M}$ pourra, suivant les cas que le hasard présentera, être plus grande ou plus petite que cette valeur moyenne, mais la différence sera d’autant moindre que le nombre des observations sera plus grand ; de sorte que

${\sqrt {\frac {\mathrm {M} }{\varpi -\rho }}}$

pourra être regardé comme une valeur approchée de $\mu$ ; par conséquent la valeur de $\mu$, fournie par la méthode erronée dont nous avons parlé dans l’article précédent, devra être augmentée dans le rapport de ${\sqrt {\varpi -\rho }}$ à ${\sqrt {\varpi }}$.