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4.

Les fonctions $\mathrm {U}$, en nombre infini, par lesquelles on peut remplacer $u$, ne différeront les unes des autres, dans nos recherches, que par les valeurs qu’elles fourniront pour $\mathrm {L}$, $\mathrm {L} '$, $\mathrm {L} ''$, etc. : nous devons donc, avant tout, chercher les relations qui existent entre les systèmes de valeurs que peuvent prendre ces coefficients. Désignons par

${\begin{array}{c}{\begin{array}{lll}a,&a',&a'',\ldots ,\\b,&b',&b'',\ldots ,\\c,&c',&c'',\ldots ,\end{array}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

les valeurs que prennent les coefficients

${\begin{array}{c}{\begin{array}{lll}{\dfrac {\mathrm {dX} }{\mathrm {d} v}},&{\dfrac {\mathrm {dX} }{\mathrm {d} v'}},&{\dfrac {\mathrm {dX} }{\mathrm {d} v''}},\ldots ,\\[0.75ex]{\dfrac {\mathrm {dY} }{\mathrm {d} v}},&{\dfrac {\mathrm {dY} }{\mathrm {d} v'}},&{\dfrac {\mathrm {dY} }{\mathrm {d} v''}},\ldots ,\\[0.75ex]{\dfrac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {d} v}},&{\dfrac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {d} v'}},&{\dfrac {\mathrm {dZ} }{\mathrm {d} v''}},\ldots ,\end{array}}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

si l’on y substitue pour $v$, $v'$, $v''$, etc., leurs valeurs véritables. Il est clair que si l’on donne à $v$, $v'$, $v''$, etc., des accroissements $\mathrm {d} v$, $\mathrm {d} v'$, $\mathrm {d} v''$, etc., qui ne changent pas $\mathrm {X}$, $\mathrm {Y}$, $\mathrm {Z}$, etc., et leur laissent, par conséquent, la valeur zéro, ces accroissements, qui satisferont aux équations

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}0{}={}&a\,&\mathrm {d} v&{}+{}a'&\mathrm {d} v'&{}+{}a''&\mathrm {d} v''&{}+{}\ldots ,\\0{}={}&b\,&\mathrm {d} v&{}+{}b'&\mathrm {d} v'&{}+{}b''&\mathrm {d} v''&{}+{}\ldots ,\\0{}={}&c\,&\mathrm {d} v&{}+{}c'&\mathrm {d} v'&{}+{}c''&\mathrm {d} v''&{}+{}\ldots ,\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

ne changeront rien à la valeur de $\mathrm {U} -u$, et l’on aura, par conséquent,

$0=(l-\mathrm {L} )\,\mathrm {d} v+(l'-\mathrm {L} ')\,\mathrm {d} v'+(l''-\mathrm {L} '')\,\mathrm {d} v''+\ldots .$

On en conclut facilement que $\mathrm {L}$, $\mathrm {L} '$, $\mathrm {L} ''$, etc., doivent avoir