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$z^{0}$, etc., soient les valeurs déterminées de $x$, $y$, $z$, etc., auxquelles répond ce minimum, et adoptons les notations suivantes :

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&{\frac {a^{2}}{p}}&{}+{}&{\frac {{a'}^{2}}{p'}}&{}+{}&{\frac {{a''}^{2}}{p''}}&{}+{}&\ldots =(aa),\\[0.5ex]&{\frac {ab}{p}}&{}+{}&{\frac {a'b'}{p'}}&{}+{}&{\frac {a''b''}{p''}}&{}+{}&\ldots =(ab),\\[0.5ex]&{\frac {ac}{p}}&{}+{}&{\frac {a'c'}{p'}}&{}+{}&{\frac {a''c''}{p''}}&{}+{}&\ldots =(ac),\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \\{\begin{alignedat}{4}&{\frac {b^{2}}{p}}\,&{}+{}&\;{\frac {{b'}^{2}}{p'}}\,&{}+{}&\;{\frac {{b''}^{2}}{p''}}\,&{}+{}&\ldots =(bb),\\[0.5ex]&{\frac {c^{2}}{p}}&{}+{}&\;{\frac {{c'}^{2}}{p'}}\,&{}+{}&\;{\frac {{c''}^{2}}{p''}}\,&{}+{}&\ldots =(cc),\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \\{\begin{alignedat}{4}&{\frac {a\,l}{p}}\,&{}+{}&{\frac {a'l'}{p'}}\,&{}+{}&{\frac {a''l''}{p''}}&{}+{}&\ldots =(al),\\[0.5ex]&{\frac {b\,l}{p}}&{}+{}&{\frac {b'l'}{p'}}&{}+{}&{\frac {b''l''}{p''}}&{}+{}&\ldots =(bl),\\[0.5ex]&{\frac {c\,l}{p}}&{}+{}&{\frac {c'l'}{p'}}&{}+{}&{\frac {c''l''}{p''}}&{}+{}&\ldots =(cl),\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}$

La condition de minimum exige évidemment que l’on ait

(1)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}0{}={}&(aa)\,&x^{0}{}+{}&(ab)\,&y^{0}{}+{}&(ac)\,&z^{0}+\ldots {}+{}&(al),\\0{}={}&(ba)\,&x^{0}{}+{}&(bb)\,&y^{0}{}+{}&(bc)\,&z^{0}+\ldots {}+{}&(bl),\\0{}={}&(ca)\,&x^{0}{}+{}&(cb)\,&y^{0}{}+{}&(cc)\,&z^{0}+\ldots {}+{}&(cl),\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end{array}}\right.$

Après que ces équations auront fourni les valeurs de $x^{0}$, $y^{0}$, $z^{0}$, etc., on posera

(2)

$\left\{{\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}&a&x^{0}{}+{}&b&y^{0}{}+{}&c&z^{0}+\ldots {}+{}&l&{}={}&\mathrm {L} ,\\&a'&x^{0}{}+{}&b'&y^{0}{}+{}&c'&z^{0}+\ldots {}+{}&l'&{}={}&\mathrm {L} ',\\&a''&x^{0}{}+{}&b''&y^{0}{}+{}&c''&z^{0}+\ldots {}+{}&l''&{}={}&\mathrm {L} '',\end{alignedat}}\\\,\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}\right.$

et la fonction la plus propre à déterminer notre inconnue, à laquelle correspond l’erreur moyenne minimum, sera celle dont les coefficients différentiels, pour les valeurs con-