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comme cela est évident par les formules (10) et (15), et encore par les formules (14) et (16).
13.
Nous devons, avant tout, faire subir à la fonction
une transformation semblable à celle qui a été indiquée (Theoria Motus, art. 182), et, avec plus de développements, dans les Recherches sur Pallas.
Posons, à cet effet,
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{2}(bb,1)&{}={}(bb)&{}-{}&{\frac {(ab)^{2}}{(aa)}},\\[0.75ex](bc,1)&{}={}(bc)&{}-{}&{\frac {(ab)\,(ac)}{(aa)}},\\[0.75ex](bd,1)&{}={}(bd)&{}-{}&{\frac {(ab)\,(ad)}{(aa)}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \\{\begin{alignedat}{2}(cc,2)&{}={}(cc)&{}-{}&{\frac {(ac)^{2}}{(aa)}}-{\frac {(bc,1)^{2}}{(bb,1)}},\\[0.75ex](cd,2)&{}={}(cd)&{}-{}&{\frac {(ac)\,(ad)}{(aa)}}-{\frac {(bc,1)\,(bd,1)}{(bb,1)}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \\{\begin{alignedat}{2}(dd,3)&{}={}(dd)&{}-{}&{\frac {(ad)^{2}}{(aa)}}-{\frac {(bd,1)^{2}}{(bb,1)}}-{\frac {(cd,2)^{2}}{(cc,2)}},\end{alignedat}}\\\;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b149d9eaf2381384eb9471dea5691dcb3bee557)
et, ensuite[1]
![{\displaystyle {\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{4}&(bb,1)\,&y{}+{}&(bc,1)\,&z{}+{}&(bd,1)\,&w+\ldots &{}={}\eta ',\\&&&(cc,2)\,&z{}+{}&(cd,2)\,&w+\ldots &{}={}\zeta '',\\&&&&&(dd,3)\,&w+\ldots &{}={}\varphi ''',\end{alignedat}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed6236637617f9bc3302ce182aa772dfe6ae76e)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {\xi ^{2}}{(aa)}}+{\frac {{\eta '}^{2}}{(bb,1)}}+{\frac {{\zeta ''}^{2}}{(cc,2)}}+{\frac {{\varphi '''}^{2}}{(dd,3)}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56d9faea661ffb9025b6168983f1529234205839)
et
,
,
, etc., se déduiront du
,
,
,
, etc., par les
- ↑ Dans les calculs précédents il suffisait de trois lettres de chaque série pour faire apercevoir la loi des formules ; il a paru nécessaire d’en faire ici figurer une quatrième, pour rendre l’algorithme plus manifeste. (Note de M. Gauss.)