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Nous tirons de là,

$\mathrm {R^{3}T} =$		$\mathrm {-R^{2}P'+2PRQ''-P^{2}R'} ,$
$\mathrm {R^{3}U} =$		$\mathrm {PRP''+QRQ''+PQR'-R^{2}R''} ,$
$\mathrm {R^{3}V} =$		$\mathrm {-R^{2}Q'+2QRP''-Q^{2}R'} .$

En substituant ces valeurs dans la formule de l’art. VII, nous obtenons, pour la mesure de la courbure $k$, l’expression symétrique suivante,

$(\mathrm {P^{2}+Q^{2}+R^{2}} )^{2}k=$		$\mathrm {P^{2}(Q'R'-P''^{2})}$	$\mathrm {+Q^{2}(P'R'-Q''^{2})}$
	$+$	$\mathrm {R^{2}(P'Q'-R''^{2})}$	$\mathrm {+2QR(Q''R''-P'P'')}$
	$+$	$\mathrm {2PR(P''R''-Q'Q'')}$	$\mathrm {+2PQ(P''Q''-R'R'')}$

X.

On obtiendra une formule encore plus compliquée, composée de quinze éléments, en suivant la seconde méthode générale^[1] pour exprimer la nature des surfaces courbes. Il est cependant très-important de l’élaborer aussi. En conservant les signes de l’art. IV, posons, en outre,

${\frac {d^{2}x}{dp^{2}}}=$	$\alpha ,$	$\qquad {\frac {d^{2}x}{dpdq}}=$	$\alpha ',\qquad$	${\frac {d^{2}x}{dq^{2}}}=$	$\alpha '',$
${\frac {d^{2}y}{dp^{2}}}=$	$\beta ,$	$\qquad {\frac {d^{2}y}{dpdq}}=$	$\beta ',\qquad$	${\frac {d^{2}y}{dq^{2}}}=$	$\beta '',$
${\frac {d^{2}z}{dp^{2}}}=$	$\gamma ,$	$\qquad {\frac {d^{2}z}{dpdq}}=$	$\gamma ',\qquad$	${\frac {d^{2}z}{dq^{2}}}=$	$\gamma ''.$

Faisons encore, pour abréger,

$bc'-cb'$		$=\mathrm {A} ,$
$ca'-ac'$		$=\mathrm {B} ,$
$ab'-ba'$		$=\mathrm {C} .$

On a d’abord

$\mathrm {A} dx\ +\ \mathrm {B} dy\ +\ \mathrm {C} dz\ =\ 0,$

ou

$dz\ =\ -{\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {C} }}dx\ -\ {\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {C} }}dy\ ;$

1. Cette seconde méthode est un système de coordonnées, longitudes et latitudes, généralisé.