une autre surface quelconque, la mesure de la courbure
en chaque point reste invariable.
Évidemment aussi, une partie quelconque finie d’une surface courbe, après son développement sur une autre surface courbe, conservera la même courbure totale.
Le cas spécial, auquel les géomètres ont restreint jusqu’ici leurs recherches, consiste dans les surfaces développables sur un plan. Notre théorie apprend spontanément que la mesure de la courbure de telles surfaces en un point quelconque est zéro ; par conséquent, si leur nature est exprimée suivant la troisième méthode, on aura partout
Ce critérium, quoique bien connu, n’est pas démontré la
plupart du temps, à notre avis du moins, avec la rigueur
qu’on pourrait désirer.
XIII.
Ce que nous avons exposé dans l’article précédent se rattache à une manière particulière de considérer les surfaces, digne au plus haut point d’être cultivée avec soin par les géomètres. Quand l’on considère une surface non comme la limite d’un solide, mais comme un solide flexible quoique inextensible, dont une des dimensions est regardée comme évanouissante, les propriétés de la surface dépendent, en partie de la forme à laquelle on la conçoit réduite, en partie sont absolues, et restent invariables, suivant quelque forme qu’on la fléchisse. C’est à ces dernières propriétés, dont la recherche ouvre à la géométrie un champ nouveau et fertile, que doivent être rapportées la mesure de la courbure et la courbure totale, dans le sens que nous avons donné à ces expressions ; à elles aussi appartiennent la doctrine des lignes les plus courtes, et la
