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Par suite, les quatre équations peuvent aussi être présentées ainsi :

${\begin{aligned}\alpha \mathrm {\sqrt {E'G'-F'^{2}}} &=\mathrm {\sqrt {EG'}} .\sin(\omega +\omega '-\psi ),\\\beta \mathrm {\sqrt {E'G'-F'^{2}}} &=\mathrm {\sqrt {GG'}} .\sin(\omega '-\psi ),\\\gamma \mathrm {\sqrt {E'G'-F'^{2}}} &=\mathrm {\sqrt {EE'}} .\sin(\psi -\omega ),\\\delta \mathrm {\sqrt {E'G'-F'^{2}}} &=\mathrm {\sqrt {GE'}} .\sin \psi ,\end{aligned}}$

Comme, par les substitutions $dp'=\alpha .dp+\beta .dq,$

$dp'=\gamma .dp+\delta .dq,$ le trinôme

$\mathrm {E} 'dp'^{2}+2\mathrm {F} 'dp'.dq'+\mathrm {G} 'dq'^{2}$

doit se changer en $\mathrm {E} dp^{2}+2\mathrm {F} dp.dq+\mathrm {G} dq^{2},$ on obtient facilement

$\mathrm {EG-F^{2}} =(\mathrm {E'G-F'^{2}} )(\alpha \delta -\beta \gamma )^{2}\ ;$

et comme, vice versâ, le second trinôme doit se changer de nouveau dans le premier par la substitution

$(\alpha \delta -\beta \gamma )dp=\delta dp'-\beta dq',\qquad (\alpha \delta -\beta \gamma )dq=-\gamma dp'-\alpha dq',$

nous trouvons

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {E} \delta ^{2}-2\mathrm {F} \gamma \delta +\mathrm {G} \gamma ^{2}&&=\mathrm {\frac {EG-F^{2}}{E'G'-F'^{2}}} .\mathrm {E} ',\\&\mathrm {E} \beta \delta -\mathrm {F} (\alpha \delta +\beta \gamma )+\mathrm {G} \alpha \gamma &&=\mathrm {\frac {EG-F^{2}}{E'G'-F'^{2}}} .\mathrm {F} ',\\&\mathrm {E} \beta ^{2}-2\mathrm {F} \alpha \beta +\mathrm {G} \alpha ^{2}&&=\mathrm {\frac {EG-F^{2}}{E'G'-F'^{2}}} .\mathrm {G} '.\end{alignedat}}$

XXII.

Descendons de la recherche générale de l’article précédent à l’application très-large dans laquelle, en laissant encore à $p$ et $q$ leur signification la plus générale, nous adoptons pour $p',\ q',$ les quantités désignées dans l’art. XV par $r,\ \varphi$ (lettres dont nous nous servirons ici aussi), de sorte que, pour un point quelconque de la surface, $r$ soit la plus courte distance à un point déterminé,