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Nous avons, jusqu’aux quantités du quatrième ordre,

$\sin \mathrm {A} ^{*}=\sin \mathrm {A} -{\frac {1}{12}}\sigma \cos \mathrm {A} .(2\alpha +\beta +\gamma ),$

ou, avec la même exactitude,

$\sin \mathrm {A} =\sin \mathrm {A} ^{*}\left[1+{\frac {1}{24}}bc\cos \mathrm {A} .(2\alpha +\beta +\gamma )\right].$

Substituant cette valeur dans la formule [9], on aura jusqu’aux quantités du sixième ordre,

$\sigma ={\frac {1}{2}}bc\sin \mathrm {A} ^{*}\left\{{\begin{alignedat}{3}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ (3b^{2}+3c^{2}-2bc\cos \mathrm {A} )\\&+{\frac {1}{120}}\ \beta \ (3b^{2}+4c^{2}-4bc\cos \mathrm {A} )\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ (4b^{2}+3c^{2}-4bc\cos \mathrm {A} )\end{alignedat}}\right\},$

ou, avec la même exactitude,

$\sigma =\sigma ^{*}\left\{{\begin{alignedat}{3}1&+{\frac {1}{120}}\ \alpha \ (a^{2}+2b^{2}+2c^{2})+{\frac {1}{120}}\ \beta \ (2a^{2}+b^{2}+2c^{2})\\&+{\frac {1}{120}}\ \gamma \ (2a^{2}+2b^{2}+c^{2})\end{alignedat}}\right\}.$

Pour la surface sphérique, cette formule prend la forme suivante :

$\sigma =\sigma ^{*}\left[1+{\frac {1}{24}}\alpha (a^{2}+b^{2}+c^{2})\right],$

à la place de laquelle on peut prendre aussi la suivante, en conservant la même précision, comme il est facile de vérifier,

$\sigma =\sigma ^{*}{\sqrt {\frac {\sin \mathrm {A} \ .\sin \mathrm {B} \ .\sin \mathrm {C} \;}{\sin \mathrm {A} ^{*}.\sin \mathrm {B} ^{*}.\sin \mathrm {C} ^{*}}}}.$

Si l’on applique la même formule aux triangles sur une surface courbe non sphérique, l’erreur sera, généralement parlant, du cinquième ordre, mais insensible dans