Page:Gauss - Recherches générales sur les surfaces courbes, 1852.djvu/8

( 6 )

du point $\mathrm {L}$ vers $\mathrm {L'}$, et du point $\mathrm {L''}$ vers $\mathrm {L'''}$ : ceci compris, on voit en même temps que, les grands cercles concourant en deux points, on peut prendre arbitrairement celui des deux qu’on voudra. Au lieu de l’angle $\mathrm {A}$, on peut aussi prendre l’arc compris entre les pôles des grands cercles dont font partie les arcs $\mathrm {LL',\,L''L'''}$ mais il est évident qu’on doit prendre les pôles qui sont situés semblablement par rapport à ces arcs, c’est-à-dire que les deux pôles soient situés à droite, quand on marche de $\mathrm {L}$ vers $\mathrm {L'}$, et de $\mathrm {L''}$ vers $\mathrm {L'''}$, ou bien tous les deux à gauche.

7. Soient $\mathrm {L,\,L',\,L''}$ trois points sur la surface de la sphère, et posons, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}&\cos(1)\mathrm {L} &&=x,\quad &&\cos(2)\mathrm {L} &&=y,\quad &&\cos(3)\mathrm {L} &=z,\\&\cos(1)\mathrm {L'} &&=x',\quad &&\cos(2)\mathrm {L'} &&=y',\quad &&\cos(3)\mathrm {L'} &=z',\\&\cos(1)\mathrm {L''} &&=x'',\quad &&\cos(2)\mathrm {L''} &&=y'',\quad &&\cos(3)\mathrm {L''} &=z'',\end{alignedat}}$

et

$xy'z''+x'y''z+x''yz'-xy''z'-x'yz''-x''y'z=\Delta .$

Que $\lambda$ désigne celui des pôles du grand cercle, dont l’arc $\mathrm {LL'}$ fait partie, qui est placé par rapport à cet arc de la même manière que le point $(1)$ est placé par rapport à l’arc $(2),\,(3).$ Alors on aura, d’après le théorème précédent,

$yz'-y'z=\cos(1)\lambda .\sin(2)(3).\sin \mathrm {LL'} ,$

ou, à cause de $(2)(3)=90$ degrés,

$yz'-y'z=\cos(1)\lambda .\sin \mathrm {LL'} ,$

et, de la même manière,

$zx'-z'x=\cos(2)\lambda .\sin \mathrm {LL'} ,$

$xy'-x'y=\cos(3)\lambda .\sin \mathrm {LL'} .$

Multipliant ces équations respectivement par $x'',\,y'',\,z'',$ et ajoutant, nous obtiendrons, au moyen du second théorème rapporté au n^o 5,

$\Delta =\cos \lambda \mathrm {L''} .\sin \mathrm {LL'} .$