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C.-F. GAUSS
c’est à dire que, fdésignant une fonction arbitraire, l’on prendra
pour
la partie réelle de
![{\displaystyle f\left(\log t+{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9952a01da152fd196f6c3c24fd6fdb746d6895d)
et pour
la partie imaginaire, après suppression du facteur
Si l’on prend par exemple pour
une fonction exponentielle,
à savoir
![{\displaystyle f(v)=he^{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe51cd8cf82ce7298ec137da444ade7899b9005b)
où
est une constante, et où
désigne la base des logarithmes
hyperboliques, on a ainsi la représentation la plus simple
![{\displaystyle \mathrm {X} =ht\cos \left({\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right),\qquad \mathrm {Y} =ht\sin \left({\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf12845dfc793f39ee77e1718e0bf517b9a5a930)
L’application des formules de l’Article VII donne ici
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&n&&=&&(k^{2}+1)t^{2},\\&\mathrm {N} &&=&&1.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4c696bf60d7eb0fe278454c49baf5dcae6cf43b)
et, puisque
on a
![{\displaystyle \varphi \left(\log t+i{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)\varphi _{1}\left(\log t-i{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)=h^{2}t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0408e9da05ffbbafc35943271df77ff03772a27a)
et par suite le rapport d’agrandissement sera
![{\displaystyle m={\frac {h}{\sqrt {k^{2}+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b2fa6bf3e526ac78e7f352dc2b911e3fb791105)
et par conséquent constant.
Si l’on fait encore
![{\displaystyle h={\sqrt {k^{2}+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc8ab3a908a804a05ad699602059ba2efc8b539)
la représentation sera donc en ce cas un développement complet
[du cône sur le plan — sous entendu par Gauss.].