Page:Gauss - Représenter les parties d'une surface donnée sur une autre surface donnée, traduction Laugel, 1915.djvu/21

16

C.-F. GAUSS

Appliquée au globe terrestre, si l’on désigne par $t$ la longitude géographique et par $90^{\circ }-u$ la latitude, cette représentation n’est évidemment pas autre chose que la projection de Mercator. Pour le rapport d’agrandissement, les formules de l’Article VII donnent ici

$m={\frac {k}{a\sin u}}.$

Si l’on prend pour $f$ une fonction exponentielle imaginaire, et en premier lieu la plus simple $f(v)=ke^{iv}$ on aura

${\begin{alignedat}{2}&f\left(t+i\log \ \operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}u\right)&&=&&ke^{-\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u+it},\\&&&=&&k\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\ (\cos t+i\sin t),\end{alignedat}}$

et

$\mathrm {X} =k\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\cos t,\qquad \mathrm {Y} =k\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\sin t\ ;$

c’est, comme on le reconnaît aisément, la projection stéréographique.

Si l’on pose d’une manière plus générale $f[v)=ke^{i\lambda v},$ on aura :

$\mathrm {X} =k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}u\cos \lambda t,\qquad \mathrm {Y} =k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}u\sin \lambda t.$

Pour le rapport d’agrandissement, nous obtenons ici

$n=a^{2}\sin ^{2}u,\qquad \mathrm {N} =1,\qquad \varphi (v)=i\lambda ke^{i\lambda v},$

d’où

$m={\frac {\lambda k\operatorname {tang} ^{\lambda }{\frac {1}{2}}u}{a\sin u}}.$