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C.-F. GAUSS

comme variables, on a par différentiation

${\frac {dl}{d\lambda }}={\frac {ab'-ba'}{(a\cos \lambda +a'\sin \lambda )^{2}+(b\cos \lambda +b'\sin \lambda )^{2}}}$

$=(ab'-ba'){\frac {d\sigma ^{2}}{ds^{2}}}.$

On reconnaît, par conséquent, que selon que $ab'-ba'$ est positif ou négatif, $l$ et $\lambda$ croissent toujours dans le même sens ou varient en sens inverse, et que, par conséquent, les représentations 2 et 3 sont semblablement disposées dans le premier cas, inversement dans le second.

En réunissant ce résultat à celui trouvé auparavant, on reconnaît que les représentations 1 et 3 sont semblablement ou inversement disposées selon que ${\frac {ab'-ba'}{h}}$ est positif ou négatif.

Puisque sur la surface dont l’équation est $\psi =0$ on a

$edx+gdy+hdz=0.$

on aura aussi par conséquent

$(ea+gb+hc)dt+(ea'+gb'+hc')du=0,$

quel que soit d’ailleurs le rapport de $dt$ et $du,$ et on aura évidemment identiquement

$ea+gb+hc=0\qquad ea'+gb'+hc'=0\ ;$

d’où il résulte que $e,\ g,\ h$ sont respectivement proportionnels aux quantités $bc'-cb',\ ca'-ac',\ ab'-ba',$ et que par conséquent

${\frac {bc'-cb'}{e}}\quad =\quad {\frac {ca'-ac'}{g}}\quad =\quad {\frac {ab'-ba'}{h}}.$