30
C.-F. GAUSS
comme variables, on a par différentiation
![{\displaystyle {\frac {dl}{d\lambda }}={\frac {ab'-ba'}{(a\cos \lambda +a'\sin \lambda )^{2}+(b\cos \lambda +b'\sin \lambda )^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc16d2043af58c7e06fc5acd76cc4ce945c3b98d)
![{\displaystyle =(ab'-ba'){\frac {d\sigma ^{2}}{ds^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdf8baacb65107228c7fb4ea0a3abdd32f7b406)
On reconnaît, par conséquent, que selon que
est
positif ou négatif,
et
croissent toujours dans le même sens
ou varient en sens inverse, et que, par conséquent, les représentations
2 et 3 sont semblablement disposées dans le premier cas, inversement dans le second.
En réunissant ce résultat à celui trouvé auparavant, on reconnaît
que les représentations 1 et 3 sont semblablement ou
inversement disposées selon que
est positif ou négatif.
Puisque sur la surface dont l’équation est
on a
![{\displaystyle edx+gdy+hdz=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21d5ed3deb1ac585c0d9abcc5cc8ab13ac6a8dd)
on aura aussi par conséquent
![{\displaystyle (ea+gb+hc)dt+(ea'+gb'+hc')du=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a92048f6ad7298cd096880feb26a8c52a8b584a)
quel que soit d’ailleurs le rapport de
et
et on aura évidemment
identiquement
![{\displaystyle ea+gb+hc=0\qquad ea'+gb'+hc'=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4943959790d7c66b387ba7f1e55a70de7675a05d)
d’où il résulte que
sont respectivement proportionnels
aux quantités
et que par conséquent
![{\displaystyle {\frac {bc'-cb'}{e}}\quad =\quad {\frac {ca'-ac'}{g}}\quad =\quad {\frac {ab'-ba'}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/923c8c5cf6209568c84657375f5d6acb0c141e17)