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C.-F. GAUSS
Art. XIII. — Dans ses recherches sur la géodésie Gauss prend
pour
la forme

Art. XIII (fin). — Relativement à la série pour
remarquons ceci :
La formule

donne
la formule précédente pour
donne ensuite
On tire de ces deux formules

En différentiant successivement, on obtient

Si l’on fait
après avoir effectué les différentiations,
on a aussi
d’où
![{\displaystyle \left[{\frac {d\log m}{d\cos \mathrm {U} }}\right]_{\cos \mathrm {\mathrm {U} } =\cos \mathrm {W} }=0,\qquad \left[{\frac {d^{2}\log m}{(d\cos \mathrm {U} )^{2}}}\right]_{\cos \mathrm {\mathrm {U} } =\cos \mathrm {W} }={\frac {\varepsilon ^{2}}{1-\varepsilon ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dc848695463bdb4ef530bd5ca75856d54b687f6)
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{3}\log m}{(d\cos \mathrm {U} )^{3}}}\right]_{\cos \mathrm {\mathrm {U} } =\cos \mathrm {W} }={\frac {-4\varepsilon ^{4}\cos \mathrm {W} }{(1-\varepsilon ^{2})^{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4178a590902f59d19540d14f899c973d5c6e87ad)
La valeur prise par Gauss pour l’aplatissement, à savoir
est un peu trop petite d’après les nouvelles mesures. Avec
la valeur de Gauss
on a