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LIVRE I, SECTION I.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

détermination ne pourra présenter de difficultés même à quelqu’un médiocrement versé dans l’analyse trigonométrique. On donnera plus d’élégance à plusieurs de ces formules en introduisant à la place de $e$ l’angle dont le sinus $=e$ ; en désignant cet angle par $\varphi$, nous avons

${\begin{aligned}{\sqrt {1-e^{2}}}&=\cos \varphi ,&{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}&=\cos \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right){\sqrt {2}}.\\{\sqrt {1-{\overset {}{e}}\,}}&=\cos \left(45^{\circ }\!+{\frac {1}{2}}\varphi \right){\sqrt {2}},&{\sqrt {\frac {1-e}{1+e}}}&=\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right).\\{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}\,&+{\sqrt {1-{\overset {}{e}}}}=2\cos {\frac {1}{2}}\varphi ,&{\sqrt {1+{\overset {}{e}}}}&-{\sqrt {1-{\overset {}{e}}}}=2\sin {\frac {1}{2}}\varphi .\end{aligned}}$

Voici maintenant les principales relations entre $a,$ $p,$ $r,$ $e,$ $\varphi ,v,\,\mathrm {E} ,\,\mathrm {M} .$

I.

$p=a\cos ^{2}\varphi .$

II.

$r={\frac {p}{1+e\cos v}}.$

III.

$r=a(1-e\cos \mathrm {E} ).$

IV.

$\cos \mathrm {E} ={\frac {\cos v+e}{1+e\cos v}},$ou$\cos v={\frac {\cos \mathrm {E} -e}{1-e\cos \mathrm {E} }}.$

V.

${\begin{alignedat}{5}\sin {\frac {1}{2}}\mathrm {E} &={\sqrt {{\frac {1}{2}}(1-\cos \mathrm {E} )}}&{}={}&\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1-e}{1+e\cos v}}}\\&=\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r(1-e)}{p}}}&{}={}&\sin {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{a(1+e)}}}.\end{alignedat}}$

VI.

${\begin{alignedat}{5}\cos {\frac {1}{2}}\mathrm {E} &={\sqrt {{\frac {1}{2}}(1+\cos \mathrm {E} )}}&{}={}&\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {1+e}{1+e\cos v}}}\\&=\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {r(1+e)}{p}}}&{}={}&\cos {\frac {1}{2}}v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{a(1-e)}}}.\end{alignedat}}$

VII.

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v.\operatorname {tang} \left(45^{\circ }\!-{\frac {1}{2}}\varphi \right).$

VIII.

$\sin \mathrm {E} ={\frac {r\sin v\cos \varphi }{p}}={\frac {r\sin v}{a\cos \varphi }}.$

IX.

${\begin{aligned}\qquad r\cos v&=a(\cos \mathrm {E} -e)\\&=2a\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {E} +{\frac {1}{2}}\varphi +45^{\circ }\!\right)\cos \left({\frac {1}{2}}\mathrm {E} -{\frac {1}{2}}\varphi -45^{\circ }\!\right).\end{aligned}}$

X.

$\sin {\frac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )=\sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin v{\sqrt {\frac {\overset {}{r}}{p}}}=\sin {\frac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} {\sqrt {\frac {\overset {}{a}}{r}}}.$