Page:Henri Poincaré - Électricité et optique, 1901.djvu/20

L’observation nous fait connaître ensuite les lois des variations de ces paramètres et ces lois peuvent généralement se mettre sous la forme d’équations différentielles qui lient entre eux les $q$ et le temps.

Que faut-il faire pour donner une interprétation mécanique d’un pareil phénomène ?

On cherchera à l’expliquer soit par les mouvements de la matière ordinaire, soit par ceux d’un ou plusieurs fluides hypothétiques.

Ces fluides seront considérés comme formés d’un très grand nombre de molécules isolées ; soient $m_{1},m_{2}\cdots \;m_{p}$ les masses de ces molécules ; soient $x_{i},y_{i},z_{i}$, les coordonnées de la molécule $m_{i}.$

On devra de plus supposer qu’il y a conservation de l’énergie, et par conséquent qu’il existe une certaine fonction $-\mathrm {U}$ des 3 p coordonnées qui joue le rôle de fonction des forces. Les 3 p équations du mouvement s’écriront alors :

(1)

${\begin{aligned}&m_{i}{\frac {d^{2}x_{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\mathrm {U} }{dx_{i}}},\\&m_{i}{\frac {d^{2}y_{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\mathrm {U} }{dy_{i}}},\\&m_{i}{\frac {d^{2}z_{i}}{dt^{2}}}=-{\frac {d\mathrm {U} }{dz_{i}}}.\end{aligned}}$

L’énergie cinétique du système est égale à :

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum m_{i}\left({x'}_{i}^{2}+{y'}_{i}^{2}+{z'}_{i}^{2}\right).$

L’énergie potentielle est égale à $\mathrm {U}$ et l’équation qui exprime la conservation de l’énergie s’écrit :

${\rm {T+U}}$ = const.

On aura donc une explication mécanique complète du phénomène, quand on connaîtra d’une part la fonction des forces $-\mathrm {U}$ et que d’autre part on saura exprimer les 3 p coordonnées $x_{i},y_{i},z_{i}$ à l’aide de n paramètres q.

Si nous remplaçons ces coordonnées par leurs expressions en