Pour évaluer le nombre des cas possibles, constatons que les bulletins et les bulletins peuvent se présenter dans autant d’ordres différents qu’il y a de permutations avec répétition de lettres et lettres , soit
.
Je partage ces cas possibles en trois groupes.
Dans le premier, je range tous les cas où a la majorité au début et la conserve tout le temps, soit cas tous favorables.
Dans le deuxième, je range tous les cas où le premier bulletin est un bulletin ; perd donc la majorité au début ;
ce sont cas défavorables.
Dans le troisième, je range tous les cas où a la majorité au début, mais la perd ensuite avant de la retrouver à la fin ; ce sont cas défavorables.
On a
,
et il s’agit de calculer
.
Évaluons : le premier bulletin dépouillé porte ; supprimons-le, il reste bulletins et bulletins . Le nombre des cas possibles est et donne la valeur de .
Je vais démontrer que .
Lemme. — Supposons qu’il y ait égalité de voix dans le scrutin : a bulletins, a bulletins. Admettons également que a la majorité au début, et qu’il la conserve jus-