Pour évaluer le nombre des cas possibles, constatons que les
bulletins
et les
bulletins
peuvent se présenter dans autant d’ordres différents qu’il y a de permutations avec répétition de
lettres
et
lettres
, soit
![{\displaystyle {\frac {(m+n)!}{m!+n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0519cf249d018eba4619ae45d94a36ae31eb338)
.
Je partage ces cas possibles en trois groupes.
Dans le premier, je range tous les cas où
a la majorité au début et la conserve tout le temps, soit
cas tous favorables.
Dans le deuxième, je range tous les cas où le premier bulletin est un bulletin
;
perd donc la majorité au début ;
ce sont
cas défavorables.
Dans le troisième, je range tous les cas où
a la majorité au début, mais la perd ensuite avant de la retrouver à la fin ; ce sont
cas défavorables.
On a
![{\displaystyle \mathrm {N_{1}} +\mathrm {N_{2}} +\mathrm {N_{3}} ={\frac {(m+n)!}{m!+n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5ab96e3d3cd9ca5af28b72fb4d1017fe62873e)
,
et il s’agit de calculer
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {N_{1}} }{\mathrm {N_{1}} +\mathrm {N_{2}} +\mathrm {N_{3}} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c59da4bd82cf42417ae9be37f673559c652b4d5c)
.
Évaluons
: le premier bulletin dépouillé porte
; supprimons-le, il reste
bulletins
et
bulletins
. Le nombre des cas possibles est
et donne la valeur de
.
Je vais démontrer que
.
Lemme. — Supposons qu’il y ait égalité de voix dans le scrutin :
a
bulletins,
a
bulletins. Admettons également que
a la majorité au début, et qu’il la conserve jus-