Page:Henri Poincaré - Dernières pensées, 1920.djvu/133

d’entier, et entiers du 1^er ordre les nombres qui appartiennent à toutes les classes récurrentes du 1^er ordre ; appelons ensuite classes récurrentes du 2^e ordre celles que l’on peut définir en introduisant au besoin la notion d’entier du 1^er ordure, mais sans faire intervenir la notion d’entier d’ordre supérieur ; appelons entiers du 2^e ordre les nombres qui appartiennent à toutes les classes récurrentes du 2^e ordre, et ainsi de suite. Et alors ce que nous pouvons démontrer ce n’est pas que la sommes de deux entiers est un entier, c’est que la somme de deux entiers d’ordre $K$, est un entier d’ordre $K-1$.

Ces exemples suffirent, je pense, pour faire comprendre ce que M. Russel appelle la hiérarchie des types. Mais alors se posent diverses questions sur lesquelles l’auteur ne s’est pas prononcé.

1° Dans cette hiérarchie s’introduisent sans difficulté des propositions du 1^er, du 2^e ordre, etc., et en général du $n{e}$ ordre, $n$ étant un nombre entier fini quelconque. Est-il possible de considérer de même des propositions d’ordre $\alpha$, $\alpha$ étant un nombre ordinal transfini ? C'est ainsi que M. König a imaginé une théorie qui ne diffère pas essentiellement de celle de M. Russell ; il s’y sert d’une notation spéciale, il y désigne par $A(NV)$ les objets du 1^er ordre, par $A(NV)^{2}$ ceux du 2^e ordre, etc., $NV$ étant les initiales de l’ex-