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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

Il est toujours permis de supposer que l’origine des temps ait été choisie de telle sorte que les valeurs initiales de $\lambda$ et de $\lambda '$ soient nulles. Il suffit pour cela de prendre pour origine des temps l’époque d’une conjonction et pour origine des longitudes la longitude de cette conjonction.

D’autre part, les équations du problème des trois corps présentent une symétrie telle qu’elles ne changent pas quand on change $t$ en $-t,$ ou bien quand on change simultanément $\lambda$ en $-\lambda$ et $\lambda '$ en $-\lambda '.$

Si donc il y a solution périodique quand les valeurs initiales des variables $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi ',$ $\eta '$ seront $\Lambda _{0}+\beta _{1},$ $\Lambda '_{0}+\beta _{2},$ $0,\,0,$ $\xi _{0},$ $\eta _{0},$ $\xi '_{0},$ $\eta '_{0},$ il y aura encore solution périodique quand ces valeurs initiales seront

$\Lambda _{0}+\beta _{1},\quad \Lambda '_{0}+\beta _{2},\quad 0,\quad 0,\quad \xi _{0},\quad -\eta _{0},\quad \xi '_{0},\quad -\eta '_{0}.$

Les équations (3) ne changent donc pas quand on y change $\eta _{0}$ et $\eta '_{0}$ en $-\eta _{0}$ et $-\eta '_{0}.$

Or ces équations (3) ne comportent qu’une seule solution ; on devra donc avoir

$\eta '=\eta '_{0}=0,$

ce qui veut dire qu’à l’origine des temps il y a conjonction symétrique. C.Q.F.D.

Les $\infty ^{4}$ solutions périodiques de la première sorte sont liées les unes aux autres par des relations simples. On peut passer de l’une à l’autre : 1^o en changeant l’origine des temps ; 2^o en changeant l’origine des longitudes ; 3^o en changeant simultanément les unités de longueur et de temps de façon que l’unité de longueur soit multipliée par $k^{\frac {2}{3}}$ quand celle de temps est multipliée par $k.$ Tous ces changements n’altèrent pas la forme des équations et, par conséquent, ne peuvent que changer les solutions périodiques les unes dans les autres. Il n’y a donc en réalité qu’une simple infinité de solutions périodiques réellement distinctes ; chacune de ces solutions réellement distinctes est caractérisée par le rapport ${\frac {n'_{0}}{n'_{0}-n_{0}}},$ ou, ce qui revient au même, par la différence entre la longitude d’une conjonction symétrique et celle de l’opposition qui la suit.