l’angle est droit et la vitesse du point par rapport au point est perpendiculaire à
En effet, les équations comportent une symétrie telle qu’elles ne changent pas quand on change en les solutions périodiques ne doivent donc pas changer non plus quand on change en si donc on envisage la trajectoire relative du point par rapport au système des axes mobiles et cette trajectoire est une courbe fermée (puisque la solution est périodique) qui est symétrique à la fois par rapport à et par rapport à
Si, au contraire, tout en supposant le mouvement de circulaire et en prenant pour axe des la droite on n’avait pas supposé la distance infinie (si, en d’autres termes, on avait, en faisant la théorie de la Lune, tenu compte de la parallaxe du Soleil en continuant de négliger l’inclinaison des orbites et l’excentricité du Soleil), cette trajectoire relative aurait encore été une courbe fermée symétrique par rapport à l’axe des mais elle n’aurait plus été symétrique par rapport à l’axe des
Les équations (1) admettent une intégrale qui s’écrit
M. Hill a étudié comment varient les solutions de la première sorte quand on fait augmenter il a reconnu que la trajectoire relative est une courbe fermée symétrique dont la forme rappelle grossièrement celle d’une ellipse dont le grand axe serait l’axe des Quand est très petite, cette sorte d’ellipse diffère très peu d’un cercle et son excentricité augmente rapidement avec Pour les grandes valeurs de la courbe commence à différer beaucoup d’une ellipse, mais le rapport du grand axe au petit continue à croître avec enfin, pour une certaine valeur de que j’appellerai la courbe présente deux points de rebroussement situés sur l’axe des C’est ce que M. Hill appelle l’orbite de la « Moon of maximum lunation ». Son calcul, fondé, tantôt sur l’emploi des séries, tantôt sur l’emploi des quadratures mécaniques, est beaucoup trop long pour trouver place ici ; je dirai seulement que M. Hill a construit exactement la courbe point par point pour diverses valeurs de et en particulier pour
