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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Si un ou deux des indices
et
sont égaux à 1,
sera défini par
la relation
![{\displaystyle n_{1}b_{i1}+n_{2}b_{i2}+n_{3}b_{i3}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bcac833711151833b632acdae7f2997a333c5f)
Nous allons, à l’aide de cette dernière relation, transformer
l’équation (11) de façon à mettre en évidence l’existence de deux
racines nulles et à réduire l’équation au quatrième degré.
Je trouve en effet, par une simple transformation de déterminant
et en divisant par
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccccc}n_{1}&n_{2}&n_{3}&0&0&0\\0&-\alpha _{1}&0&b_{2\,2}&b_{2\,3}&0\\0&0&-\alpha _{1}&b_{3\,2}&b_{3\,3}&0\\\mathrm {C} _{1\,3}^{0}&\mathrm {C} _{2\,3}^{0}&\mathrm {C} _{3\,3}^{0}&-\alpha _{1}&0&n_{3}\\\mathrm {C} _{1\,2}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}&\mathrm {C} _{3\,2}^{0}&0&-\alpha _{1}&n_{2}\\\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&\mathrm {C} _{3\,1}^{0}&0&0&n_{1}\\\end{array}}\right|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f25bba614851b142d025898e3fb9402599e5d6d)
Dans le cas particulier où l’on n’a plus que 2 degrés de liberté, cette équation s’écrit
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}n_{1}&n_{2}&0&0\\0&-\alpha _{1}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}&0\\\mathrm {C} _{1\,2}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}&-\alpha _{1}&n_{2}\\\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&0&n_{1}\\\end{array}}\right|=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c8e934238ef6c4cef66eef7a7d34e7206d7ec6)
ou
![{\displaystyle n_{1}^{2}\alpha _{1}^{2}={\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}\left(n_{1}^{2}\mathrm {C} _{22}^{0}-2n_{1}n_{2}\mathrm {C} _{12}^{0}+n_{2}^{2}\mathrm {C} _{11}^{0}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/726a1e379d0ecb4c09ab3740425ae48587bb1f67)
L’expression
ne dépend que
de
et
ou, si l’on veut, de
et de
Quand nous nous
serons donné les deux nombres
et
dont le rapport doit être commensurable,
nous pourrons regarder
comme une constante donnée. Alors le signe de
dépend seulement de
celui de ![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0473071368f618677b210b834d1336f7f81cc0)
Quand on s’est donné
et
on forme l’équation
(12)
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Nous avons vu au no 42 qu’à chaque racine de cette équation correspond
une solution périodique.