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CHAPITRE VI.
Si l’on pose de même
![{\displaystyle \eta =\cos u'-\sin \varphi '+{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42a68e659977a4590fa4d60d51fe3f7076e8276)
les coordonnées de la deuxième planète, rapportée aux mêmes
axes que la première, seront les parties réelle et imaginaire de
![{\displaystyle \eta \mathrm {L'} ^{2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fab51f5c2ac18e249194fff63163fd766175d67)
Soit
![{\displaystyle \beta =\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc5bb1e4ffd1dbec7e2e883ec136119e783d930)
soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{0}&=\cos u\,-\,\sin \varphi \,-\,{\sqrt {-1}}\cos \varphi \,\sin u,\\\eta _{0}&=\cos u'-\sin \varphi '-{\sqrt {-1}}\cos \varphi '\sin u',\\\beta _{0}&=\mathrm {L'} ^{2}\mathrm {L} ^{-2}e^{-{\sqrt {-1}}(\varpi '-\varpi )},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af3ab995b05744291174dae32024b629a72adfa)
il viendra
![{\displaystyle \mathrm {L} ^{2}\mathrm {F} _{1}^{0}={\frac {1}{\sqrt {(\xi -\beta \eta )(\xi _{0}-\beta _{0}\eta _{0})}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe72d0f2138ee2985e64436ca6607f05c358796f)
Les points singuliers de
sont les mêmes que ceux de
car
ne diffère de
que par une puissance de
et le point
qui, d’ailleurs, n’interviendra pas dans la discussion, est
déjà un point singulier de
Les points singuliers de
seront ceux pour lesquels
et
et par conséquent
cesseront d’être fonctions uniformes de
et de
et, par conséquent,
de
et de
et, en outre, ceux pour lesquels
![{\displaystyle \xi =\beta \eta \quad \mathrm {ou} \quad \xi _{0}=\beta _{0}\eta _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4fd7665b997558c412c09cc5b3d8db069152d72)
Je vais poser
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&=e^{iu},&y&=e^{iu'}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29801964682e3f3d169ab62d30af259df67ad00)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos u&={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right),&\cos u'&={\frac {1}{2}}\left(y+{\frac {1}{y}}\right),\\i\sin u&={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&i\sin u'&={\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac3008f6facfc21ecc12c4df526ff2582ec479c2)
Nous en déduirons
![{\displaystyle {\begin{aligned}l&=u-{\frac {\sin \varphi }{2i}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),&l'&=u'-{\frac {\sin \varphi '}{2i}}\left(y-{\frac {1}{y}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b1f374f2a9d950fa1cfa411456e1c8bfe3687b)