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DÉVELOPPEMENT DE LA FONCTION PERTURBATRICE.

Or il est clair que

$y={\frac {\beta (1+\tau ^{2})}{(1-\tau ^{2})}}>1.$

Donc $\gamma <1.$

Donc le point E est inadmissible. C.Q.F.D.

Le point F est inadmissible ; ici encore la droite $\Delta$ sera une portion de l’axe des quantités réelles puisque $\zeta _{i}$ sera réel. Les points singuliers primitivement confondus en $\alpha _{i}$ ne resteront pas réels, mais ils resteront imaginaires conjugués ; ils ont donc même module ; il est donc impossible que quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteindra sa valeur finale ${\frac {\zeta _{i}}{|\zeta _{i}|}}=1,$ l’un de ces points soit plus grand que 1 et l’autre plus petit que 1 en valeur absolue.

C.Q.F.D.

Il nous sera cependant utile de savoir si, quand $z^{\frac {1}{c}}$ atteint sa valeur finale 1, le module commun de ces deux points singuliers est plus grand ou plus petit que 1. Comme il est primitivement plus petit que 1, il ne pourrait cesser de l’être qu’en passant par la valeur 1. Il faudrait donc que, pour une valeur de $x$ imaginaire et de module 1, $z^{\frac {1}{c}}$ eût une valeur réelle et positive.

Construisons donc dans le plan des $x$ les lignes d’égal argument de la fonction

$z={\frac {(x-\tau )^{2c}}{[\beta (1+\tau ^{2})x]^{c}}}\,x^{a}\,e^{{\frac {a\sin \varphi }{2}}\left({\frac {1}{x}}-x\right)}.$

Ces lignes sont représentées sur fig. 3 au moins dans la partie du plan qui seule nous intéresse et qui avoisine le point O.

Les points remarquables sont le point $x=0,$ correspondant au point O de la fig. 1, le point $x=\tau$ correspondant au point A et deux points qui correspondent aux points D et F. Ces points sont d’ailleurs désignés sur la fig. 3 par les mêmes lettres.

Parmi les lignes d’égal argument, les unes regardées comme remarquables sont représentées en trait plein. Ce sont l’axe des quantités réelles d’une part et, d’autre part, des lignes allant du point O au point F et du point A au point D.

Les autres lignes d’égal argument aboutissant soit au point A,