continue. Supposons que l’on fasse varier ces éléments de telle sorte que les orbites restent réelles et qu’à aucun moment elles ne se coupent en un point réel, de telle sorte aussi qu’à aucun moment deux points singuliers de ne viennent à se confondre. Considérons un point singulier de il va varier d’une façon continue et, comme nous supposons qu’il ne se confond jamais avec aucun autre, on pourra le suivre dans ses variations sans avoir à craindre aucune ambiguïté.
Cela posé, je dis que, si ce point est admissible à un certain moment, il restera toujours admissible et inversement, sauf dans un cas sur lequel nous reviendrons.
En effet, dire que le point singulier est admissible, c’est dire que, parmi les valeurs finales de correspondant à ce point, il y en a dont le module est plus grand que 1 et d’autres dont le module est plus petit que 1. Mais il importe de préciser davantage. En effet, dans le cas particulier traité dans le numéro précédent, était fonction uniforme de et de ce qui nous a permis de représenter les points singuliers de sur le plan des
Dans le cas général il n’en est plus de même et une représentation aussi simple n’est plus possible. Il faut représenter les points singuliers de (considérée comme fonction de ) sur une surface de Riemann particulière que j’ai appelée plus haut cette surface peut être définie comme il suit : nous avons
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Si nous regardons comme donné, cette équation définit une relation entre et à laquelle satisfont une infinité de systèmes de valeurs de et de ou bien encore de et de chacun de ces systèmes de valeurs représente ce qu’on peut appeler un point analytique. À chacun des points de la surface de Riemann correspondra un de ces points analytiques et un seul, et réciproquement.
Quand on fera varier cette surface de Riemann va varier aussi, puisque alors les points singuliers de se déplacent. Soit ce que devient quand z atteint une valeur de module 1.
