Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/382

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

370

CHAPITRE VII.

$\mathrm {F} ''$ désignant l’ensemble des termes de $\mathrm {F}$ qui sont de degré supérieur au deuxième par rapport aux $\xi _{i}$ et aux $\eta _{i}.$

Nous pouvons donc écrire

{\begin{aligned}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}&=\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{2}}},&{\frac {d\theta _{2}}{dt}}&=-\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{1}}}\cdot \end{aligned}}

Si nous nous rappelons que les $\theta$ dépendent de $t,$ non pas seulement directement, mais encore par l’intermédiaire de $w,$ nous écrirons ces équations sous la forme

(14 bis)

\;{\begin{aligned}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}+\alpha w{\frac {d\theta _{1}}{dw}}&=\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{2}}},&{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+\alpha w{\frac {d\theta _{2}}{dw}}&=-\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{1}}},\end{aligned}}

auxquelles il faudrait adjoindre deux équations analogues que l’on déduirait des premières en changeant $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ en $\theta _{3}$ et $\theta _{4}.$

Ce sont là les équations (14) mises sous la forme canonique.

Il s’agit d’en faire autant pour les équations (21).

Si, dans $\Phi ,$ on remplace les $\theta _{i}$ par leurs valeurs (17), cette fonction devient développable suivant les puissances croissantes de $\alpha$ et des $u_{i}\,;$ si ensuite nous désignons par $\alpha ^{2p}\Phi '$ l’ensemble des termes du degré $2p$ au moins par rapport à $\alpha ,$ nos équations deviennent