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SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.
De ce fait, et de ce que nous savons déjà au sujet des fonctions
(qui ne sont autre chose que les dérivées de ), nous
pouvons conclure ce qui suit :
On peut trouver deux nombres réels et positifs et
indépendants de et de assez grands pour que l’on ait (en posant,
pour abréger, )
pour toutes les valeurs réelles de et pour toutes les valeurs de
comprises entre 0 et une limite supérieure quelconque Cela
aura lieu quelque grand que soit mais les nombres et
devront être choisis d’autant plus grands que sera lui-même plus grand.
Lemme fondamental.
115.Établissons maintenant le lemme suivant :
Soient deux fonctions de
et qui soient développables suivant les puissances de et telles que l’on
ait pour toutes les valeurs de et de que l’on a à considérer
Considérons les deux équations suivantes
(1)
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et
(1 bis)
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Considérons une solution particulière de chacune de ces deux
équations, choisie de telle sorte que, pour ( étant une
valeur positive quelconque de ), on ait