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SOLUTIONS PÉRIODIQUES.

vant : Supposons qu’on ait reconnu par un moyen quelconque que la courbe $\Phi =0$ présente une branche B passant par l’origine. À chacun des points de cette branche correspondra une solution périodique. Imaginons de plus que l’on sache d’une manière quelconque que la branche B n’est pas tangente à la droite $\mu =0\,;$ supposons enfin que le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta$ soit nul. On en conclura que

${\frac {d\Phi }{d\beta _{n}}}=0,$

et, comme la branche B par hypothèse n’est pas tangente à la droite $\mu =0,$ on devra avoir

${\frac {d\Phi }{d\mu }}=0.$

Cela montre que la courbe $\Phi =0$ présente à l’origine un point multiple ; par conséquent une ou plusieurs branches de courbe autres que B vont passer par l’origine. Sauf des cas exceptionnels sur lesquels nous aurons à revenir plus tard, une au moins de ces branches est réelle.

Il existera donc, en dehors des solutions périodiques correspondant à la branche B, un autre système de solutions périodiques, et les solutions des deux systèmes se confondront en une seule pour $\mu =0.$ Voici une circonstance où ce cas se présentera.

Nous avons appelé plus haut

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=0$ et

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=2\pi .$

Appelons de même

$\varphi _{i}(0)+\beta _{i}+\psi _{i}'$

la valeur de $x_{i}$ pour $t=2k\pi ,$ $k$ étant entier.

Je suppose que, pour $\mu =\beta _{1}=\beta _{2}=\dots =\beta _{n}=0,$ le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport aux $\beta ,$ que j’appelle $\Delta ,$ ne s’annule pas, tandis que le déterminant fonctionnel des $\psi '$ par rapport aux $\beta ,$ que j’appelle $\Delta ',$ s’annule.