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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.
contient pas de termes séculaires purs, mais peut contenir des
termes séculaires mixtes. Si
n’est pas nul, l’expression
contient
des termes séculaires purs.
Il est un cas où
est certainement nul, c’est celui où aucune
des quantités
n’est nulle, et où il n’y a entre les
aucune relation
linéaire à coefficients entiers (cas du no 125). En effet, on a alors
![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}=\sum n_{k}^{1}\left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]\quad \mathrm {et} \quad \left[{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/695efa94131a338fee33710e123c0c9ca47e3e53)
en désignant par
la valeur moyenne d’une
fonction périodique
de
![{\displaystyle \ldots ,\,w_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dcd101a9dae7452a9f99e912e8b52e4f18b39f7)
Mais voici un autre cas où
est encore nul.
Je suppose que
![{\displaystyle n_{2}^{0}=n_{4}^{0}=\ldots =n_{n}^{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cffe0338e4ccbfb07741a635ff12f1a1a9536b23)
et que, d’autre part, le rapport de
à
soit incommensurable.
Posons
![{\displaystyle x_{i}^{1}={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} \sin(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae646ab4cbf36a7547c1658121a92fcc493e1e4c)
étant des entiers et
et
des constantes quelconques.
Telle est, en effet, la forme du développement de
puisque
cette fonction est périodique par rapport aux
Il vient alors
![{\displaystyle \sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos(m_{1}w_{1}+m_{2}w_{2}+\ldots +m_{n}w_{n}+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea3276f116670139e6274ff66cb4931395c8ba70)
où
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\textstyle \sum }\,n_{k}^{1}m_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7feb59a88eecd2526e3b5025c321a15c0d0df8)
Pour
il vient
![{\displaystyle \sum n_{k}^{1}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos(\alpha t+\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b058a0f8384f0c895582db552abc0509363a6a37)
où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0},&\beta &=m_{1}\varpi _{1}+m_{2}\varpi _{2}+\ldots +m_{n}\varpi _{n}+h.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9df1175141ba12290f45f58a4e35a8c957434d)
D’après les hypothèses faites plus haut
ne peut être nul que si
Il vient donc
![{\displaystyle \mathrm {A} _{0}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CS} \cos \beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1ecdca7793fb871df8c65d1ce857a36ac4b4f2b)
la sommation s’étendant à tous les termes tels que ![{\displaystyle m_{1}=m_{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb0d0763e58da2da48936c7efbcad97515ac3d4)