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DIVERGENCE DES SÉRIES DE M. LINDSTEDT.
les
et les
sont des fonctions de
indépendantes de
et
s’annulant avec ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
D’après les considérations qui précèdent, les
ne contiendront
pas de terme séculaire ; c’est le théorème de Lagrange sur
l’invariabilité des grands axes quand on néglige les carrés des
masses.
Les
contiendront des termes séculaires mixtes, mais pas
de terme séculaire pur ; c’est le théorème de Poisson sur l’invariabilité
des grands axes quand on néglige les cubes des masses.
Les
ne contiendront pas de termes séculaires, mais les
contiendront des termes séculaires, tant purs que mixtes.
Revenons au cas où les
sont tous différents de 0 et ne sont
liés par aucune relation linéaire à coefficients entiers. On a alors
![{\displaystyle \xi _{i}^{3}=x_{i}^{3}+{\frac {dx_{i}^{2}}{d\mu }}+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{d\mu ^{2}}}\quad \mathrm {pour} \;\mu =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/647b683aed9a918bd789e5a0f9f698b3182dfe97)
On verrait comme plus haut que
ne donne pas de terme séculaire
et que
ne donne pas de terme séculaire pur. On a, d’autre part,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{d\mu ^{2}}}=\sum {\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}{\frac {d^{2}w_{k}}{d\mu ^{2}}}+\sum {\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}{\frac {dw_{k}}{d\mu }}{\frac {dw_{h}}{d\mu }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61690bcedd562db749b85a70c347a545fea77a10)
Le second membre peut s’écrire
![{\displaystyle 2t{\textstyle \sum }\,n^{2}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}+t^{2}\sum {\frac {d^{2}x_{i}^{1}}{dw_{k}\,dw_{h}}}n_{k}^{1}n_{h}^{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8c53b5c681db9a8b27b683cd8cb38ef4cdeda3)
Nous avons donc encore des termes séculaires mixtes, mais nous
n’avons pas de termes séculaires purs parce que la valeur moyenne
des dérivées
est toujours nulle.
Le même raisonnement s’appliquerait évidemment aux termes
suivants du développement, c’est-à-dire aux
Ainsi, dans le cas particulier du Problème des trois Corps, défini
au no 9, le grand axe demeure invariable, au sens de Poisson,
quelque loin que l’on pousse l’approximation.