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CHAPITRE XV.
les
et les
Si nous prenons les valeurs moyennes des deux
membres, il viendra, puisque
![{\displaystyle \left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]=\mathrm {const.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90395aea257a1770095d71fc4b5bdc919dd5471a)
il viendra, dis-je,
![{\displaystyle {\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfbdea2aa54e2394c1d759e5d021cd0533654efc)
Mais
c’est
qui ne dépend que des
et des
comme
ce sont là des constantes arbitraires, la constante du second
membre est également arbitraire et l’équation (9 b) s’intégrera
sans difficulté.
Égalons maintenant dans les deux membres de (1 bis) les termes
du premier degré, il viendra
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{k}n_{k}^{0}\,{\frac {dy_{i}^{1}}{dw_{k}}}+n_{i}^{1}=-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{1}-{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c4fdd18c8d4a275cf6d435e41ec55846a7b6cb)
Le second membre est entièrement connu ; en effet, le second
terme ne dépend que des
et des
le premier dépend en
outre des
(et non des
puisque
par hypothèse ne dépend
pas des
) ; mais ces quantités sont égales aux
qui sont connues,
puisque
a été déterminée à une fonction arbitraire près
des
En outre, la valeur moyenne de ce second membre, prise par
rapport aux
seulement, est une constante.
En effet, cette valeur moyenne est égale à
![{\displaystyle -{\boldsymbol {\sum }}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}-{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e5e438e4e69ec04069ba14ce1181482b673ca3)
Or
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\big [}x_{k}^{1}{\big ]}=\left[{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dw_{k}}}\right]&=\mathrm {const.} ,\\{\frac {d{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}}{dx_{i}^{0}}}={\frac {d\mathrm {R} }{dw_{i}^{0}}}&=\mathrm {const.} ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e950ad21b43673a2ebcb8451c8621158929b8af)
puisque
ne dépend que des
et des
qui sont, des constantes,
Donc la valeur moyenne de ce second membre étant une constante,
nous pourrons y égaler
On calculerait de même