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CHAPITRE VIII.

telle que

$\xi _{1}=\xi _{2}=\dots =\xi _{n}=0$

pour $t=0$ Cette solution peut s’écrire

$\xi _{i}={\frac {\theta _{i}(t,\mu )-\varphi _{p,i}}{\mu ^{p+1}}}\cdot$

Pour démontrer les égalités asymptotiques (4), il me suffit donc d’établir que $\xi _{i}$ est fini ; et pour cela il me suffit de comparer les équations (6) aux équations

(6 bis)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\mathrm {Z} .$

Tant que la solution de (6 bis) sera finie, il en sera de même de celle de (6). Or les équations (6 bis) sont faciles à intégrer. Car si l’on pose

$\xi _{1}+\xi _{2}+\dots +\xi _{n}=\sigma ,$

il vient, pour la solution particulière que nous considérons

$\xi _{1}=\xi _{2}=\dots =\xi _{n}={\frac {\sigma }{n}}$

et

${\frac {d\sigma }{dt}}={\frac {\mathrm {M} \alpha (\alpha ^{p}+\sigma )}{1-\alpha \mu -\sigma \mu ^{p+1}}}\cdot$

Il est facile d’intégrer cette dernière équation et de constater que $\sigma$ est fini, et que $\sigma$ tend vers une limite finie quand $\mu$ tend vers 0.

Il en est donc de même des $\xi _{i}.$ C.Q.F.D.

Ce théorème justifie la manière de faire des astronomes pourvu que $\mu$ soit suffisamment petit. Peut-être aurait-il pu être établi plus simplement ; mais la démonstration qui précède peut donner un moyen simple de trouver une limite supérieure de l’erreur commise.

121.Dans quelle mesure les règles ordinaires du calcul sont-elles applicables au calcul formel, c’est ce qu’il nous reste à voir :

Pour cela, considérons deux équations simultanées

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mathrm {X} ,&{\frac {dy}{dt}}&=\mathrm {Y} ,&\end{aligned}}$