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CALCUL FORMEL.

Posons

${\frac {dx}{dt}}=y,$

il viendra

(5)

${\frac {dy}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+y\,{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\cdot$

Soit une série divergente

$\mathrm {S} =f_{0}+\mu f_{1}+\mu ^{2}f_{2}+\dots ,$

qui satisfasse formellement à l’équation (4).

Formons la série

$\mathrm {S} '=f'_{0}+\mu f'_{1}+\mu ^{2}f'_{2}+\dots ,$

obtenue en différentiant chaque terme par rapport à $t.$

Je dis que les deux séries $\mathrm {S}$ et $\mathrm {S} '$ satisferont formellement aux deux équations (4) et (5).

Soit, en effet, $\mathrm {S} _{p}$ et $\mathrm {S} '_{p}$ la somme des $p+1$ premiers termes de $\mathrm {S}$ et de $\mathrm {S} '\,;$ on aura

$\mathrm {S} '_{p}={\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dt}}\cdot$

Posons

$\mathrm {X} =\mathrm {X} (x,t),$

${\frac {d\mathrm {X} }{dt}}+y\,{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {Y} (x,y,t).$

Je dis que la différence

$\mathrm {Y} (\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p},t)-{\frac {d\mathrm {S} '_{p}}{dt}}$

est divisible par $\mu ^{p+1}.$

En effet, par hypothèse, la différence

$\mathrm {U} =\mathrm {X} (\mathrm {S} _{p},t)-{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dt}}$

est divisible par $\mu ^{p+1}\,;$ il doit donc en être de même de sa dérivée

${\frac {d\mathrm {U} }{dt}}=\mathrm {Y} (\mathrm {S} _{p},\mathrm {S} '_{p},t)-{\frac {d\mathrm {S} '_{p}}{dt}}\cdot$
C.Q.F.D.