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CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

Si elle est remplie et si $n$ est entier, l’équation (3) admet une intégrale particulière qui aura un pôle pour $t={\frac {\omega 'i}{2}}\cdot$

Comment se comportera l’autre intégrale ? La théorie des équations linéaires nous apprend qu’elle ne pourra non plus avoir d’autre singularité qu’un pôle en $t={\frac {\omega 'i}{2}}$ ou un point logarithmique ; mais l’étude du développement de $x$ suivant les puissances de $u$ montre aisément que du moment que $a+bcn^{2}t$ est une fonction paire de $u,$ on n’a pas à craindre que le développement des intégrales contienne un logarithme ; je renvoie pour plus de détails aux travaux bien connus de M. Fuchs, sur les équations linéaires dans le tome 66 du Journal de Crelle et à la thèse de M. Tannery (Paris, Gauthier-Villars, 1873) où ces travaux sont résumés. Ainsi, si la condition (4) est remplie, l’équation (3) admettra deux intégrales particulières de la forme

$x={\frac {\theta (t-\alpha _{1})\theta (t-\alpha _{2})\ldots \theta (t-\alpha _{n})}{\theta ^{n}(t)}},$

en désignant par $\theta$ celle des quatre fonctions $\theta$ qui s’annule pour $t={\frac {\omega 'i}{2}}\cdot$

Les $n$ quantités $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{n}$ peuvent être facilement déterminées, ainsi que l’ont fait voir les recherches de M. Hermite sur l’équation de Lamé qui ont épuisé complètement la question.

Maintenant nous pouvons choisir un entier $n$ assez grand, pour que la valeur de $k$ qui satisfait à la condition (4) soit aussi petite que nous voudrons, et, par conséquent, pour que les équations (2) et (3) diffèrent aussi peu l’une de l’autre qu’on le voudra.

Mais, comme $q_{1}$ est généralement très petit, M. Gyldén estime que, dans les applications, on pourra se contenter de la première approximation et faire $n=1.$

Méthode de M. Bruns.

183.Reprenons l’équation

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+q^{2}x=q_{1}x\cos 2t$