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CALCUL FORMEL.

les $f$ dépendant de $t$ et de $\mu .$ Je suppose que cette égalité ait lieu uniformément. Je veux dire que l’expression

${\frac {\varphi -\varphi _{p}}{\mu ^{p}}},$

où $\varphi _{p}$ désigne la somme des $p+1$ premiers termes de la série, tend uniformément vers 0 quel que soit $t,$ quand $\mu$ tend vers 0 ; c’est-à-dire qu’on peut trouver un nombre $\varepsilon$ indépendant de $t,$ dépendant seulement de $\mu$ et s’annulant avec $\mu ,$ tel que

$|\varphi -\varphi _{p}|<\mu ^{p}\varepsilon .$

On aura alors

$\left|\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\varphi -\varphi _{p})\,dt\right|<\mu ^{p}\varepsilon (t_{1}-t_{0}),$

ce qui montre qu’on aura l’égalité asymptotique

$\int \varphi \,dt\equiv \int f_{0}\,dt+\mu \int f_{1}\,dt+\mu ^{2}\int f_{2}\,dt+\dots$

On a donc le droit d’intégrer une égalité asymptotique. Au contraire, on n’aurait pas en général le droit de la différentier. Il est cependant un cas où les principes qui précèdent nous permettent de le faire.

Soit $\varphi (t,\mu )$ une solution d’une équation différentielle et $\mathrm {S}$ une série qui satisfait formellement à cette équation.

On aura asymptotiquement

$\varphi (t,\mu )\equiv \mathrm {S} .$

Soit $\mathrm {S} '$ la série obtenue en différentiant chaque terme de $\mathrm {S} .$

D’après le numéro précédent, cette série satisfait formellement à l’équation différentielle à laquelle satisfait effectivement la dérivée ${\frac {d\varphi }{dt}}\cdot$

On aura donc l’égalité asymptotique

${\frac {d\varphi }{dt}}\equiv \mathrm {S} '.$