Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/283

269

CAS DES ÉQUATIONS LINÉAIRES.

tion

$2i\pi \varphi (x)=\int {\frac {\nabla (z)\,dz}{z-x}}$

sera évidemment une fonction holomorphe de $x\,;$ je dis que $\varphi (x)$ est égal à $\nabla (x).$

En effet, comme il résulte des démonstrations précédentes que la convergence de $\nabla (x)$ est uniforme, nous pourrons prendre $n$ assez grand pour que l’on ait au point $x$ et sur tout le contour $\mathrm {C}$

${\begin{aligned}|\nabla (x)-\nabla _{n}(x)|&<\varepsilon ,&|\nabla (z)-\nabla _{n}(z)|&<\varepsilon \end{aligned}}$

et, par conséquent,

$2i\pi |\varphi (x)-\nabla _{n}(x)|<\varepsilon \,l,$

$l$ étant la longueur du contour $\mathrm {C}$ divisée par le minimum de $|z-x|.$

Ainsi les différences $|\varphi (x)-\nabla _{n}(x)|$ et $|\nabla (x)-\nabla _{n}(x)|$ peuvent être rendues aussi petites qu’on le veut, ce qui ne peut avoir lieu que si $\nabla (x)=\varphi (x).$ C. Q. F. D.

Donc $\nabla (x)$ est holomorphe.

Je dis maintenant que $\nabla (x)$ est périodique.

Désignons, en effet, par $\mathrm {E} _{n}(x)$ le déterminant fini obtenu en prenant dans $\nabla (x)$ les $2n+1$ lignes et les $2n+1$ colonnes numérotées de $-n+1$ à $n+1,$ et par $\mathrm {E} _{n}'(x)$ le déterminant obtenu en prenant dans $\square (x)$ les lignes et les colonnes correspondantes.

La démonstration de la convergence d’un déterminant indéfini dans les deux sens a été donnée au n^o 185, quand la diagonale principale a tous ses éléments égaux à 1. Elle ne suppose pas que l’on s’astreigne à prendre autant de lignes dont les numéros sont négatifs que de lignes dont les numéros sont positifs. On aura donc

$\lim \mathrm {E} _{n}'(x)=\square (x)$ pour  $n=\infty .$

D’autre part, il est clair que

$\mathrm {E} _{n}(n)=\mathrm {E} _{n}'(x)(q^{3}-x^{2})\Pi ',$

où $\Pi '$ est le produit des facteurs

(5)

$q^{2}-{\frac {(x+2m)^{2}}{4m^{2}}},$

où $m$ prend les valeurs $\pm 1,\,\pm 2,\,\ldots ,$ $\pm (n-1),$ $n$ et $n+1.$