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CHAPITRE XVIII.
il vient
![{\displaystyle f'=\varphi _{0}'+\mu \varphi _{1}'+\mu ^{2}\varphi _{2}'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b433f575e6e8a54be0bc351330f09ee90f0f184e)
dépendant seulement de
de
et de
de
de
et
de ![{\displaystyle x_{2}',\,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf1fd6ddf1b950bef8b8126bd379f7b80da3564)
Nous aurons d’ailleurs
![{\displaystyle {\begin{array}{c}\varphi _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t)\ll \varphi _{k}'(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k},t),\\\left(\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,e^{\pm i\lambda t}\right).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67585117ce275c2c495daf5ba5c2fdf389f0b415)
J’écris, pour abréger,
pour les
arguments
![{\displaystyle e^{\pm i\lambda _{n}t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67367240216c3328b0be65358608cea8e3e29fbf)
L’équation (5) nous donnera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha x_{1}'&=\varphi _{0}',&\alpha x_{2}'&=\varphi _{1}',&&\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaf29c602887babfee8fa341967bbdeeda5f3144)
et l’on trouvera successivement
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{0}&\ll \varphi _{0}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{1}&\ll x_{1}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{1}(x_{1},t)&\ll \varphi _{1}'(x_{1}',t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{2}&\ll x_{2}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1},x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,e^{\pm i\lambda t}),\\\varphi _{2}(x_{1},x_{2},t)&\ll \varphi _{2}'(x_{1}',x_{2},t)\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\x_{3}&\ll x_{3}'\quad (\mathrm {arg} \,e^{\pm i\lambda t}),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f620ae43d003a9e9207801bb14b2709e9f50235)
et enfin
![{\displaystyle x\ll x'\quad (\mathrm {arg} \,\mu ,e^{\pm i\lambda t}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f9f04f86318b0cf8b0b6f1a2d508e06baac927c)
ce qui montre que le développement (2) est bien convergent.
Ainsi ce développement converge dans deux cas :
1o Quel que soit
quand il n’y a qu’un seul argument
2o Quel que soit le nombre des arguments, quand
est positif.