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MÉTHODES DE M. BOHLIN.
suivant les puissances de
les coefficients étant des fonctions
de ![{\displaystyle y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77980ab892b099a782ffcffee3c0a7addf130dde)
Si, au contraire,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}'(x_{1}^{0})&=0,&\mathrm {F} _{0}''(x_{1}^{0})&\gtrless 0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b66717c028632c9fa326913d431d0398340d28)
on aura encore
sous la forme d’une série, mais cette série sera
développée non pas suivant les puissances de
mais suivant celles
de ![{\displaystyle {\sqrt {\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df888a7940d077da6cebfebf2901c8fbf614b096)
Examinons successivement ces deux cas.
Soit d’abord
Nous poserons alors, puisque
et par conséquent
sont développables
suivant les puissances de
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \,\mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {S} _{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4bb799022d558d7065fa02d562e77aea3eaac2)
et nous supposerons d’ailleurs que
se réduit à la constante
on calculera ensuite, par récurrence, les autres fonctions
et le calcul sera de tout point pareil à celui du
no 125.
Passons à la seconde hypothèse où
Alors
est développable suivant les puissances de
et je puis
écrire
![{\displaystyle \mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}+\mu \,\mathrm {S} _{2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea5d172b9f77684a1d7fe129494d1df3d8d821d)
Je suppose toujours
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&\mathrm {S} _{0}&=x_{1}^{0}y_{1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57fb71884060ded33bdffea4a834eb51a7280515)
J’ai alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {F} _{0}\left({\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}\right)=\mathrm {F} _{0}&+{\frac {\mathrm {F} _{0}''}{2}}\left({\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\mu \,{\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}+\ldots \right)^{2}\\&+{\frac {\mathrm {F} _{0}'''}{2}}\left({\sqrt {\mu }}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\ldots \right)^{3}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb2f20a58d86c519e6a5cc492a1559fb588e7b4)
Dans le second membre je suppose que dans
on
a remplacé
par
Posons de même
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}{\sqrt {\mu }}+\mathrm {C} _{2}\,\mu +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8fb54e1ac181901ca32ba5a16ba419cbaaa566)