Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/387

373

MÉTHODES DE M. BOHLIN.

et un zéro simple pour

${\frac {d\mathrm {S} _{q}'}{dy_{1}'}}-{\frac {d[\mathrm {S} _{q}']}{dy_{1}'}}\cdot$

On pourrait ensuite raisonner sur la fonction $\Phi '$ de l’équation (35) comme on vient de le faire sur la fonction $\Phi$ et l’on verrait ainsi que $y_{1}'=0$ est un zéro double pour $\Phi '$ et par conséquent pour ${\big [}\Phi '{\big ]}.$

Comme, d’autre part, c’est un zéro simple pour ${\frac {d\mathrm {S} _{i}'}{dy_{1}'}},$ ce sera également un zéro simple pour

${\frac {d[\mathrm {S} _{q}']}{dy_{1}'}}\cdot$

C.Q.F.D.

Ainsi les fonctions définies par les équations (34) et (35) sont finies.

Quelle relation y a-t-il maintenant entre la fonction $\mathrm {S}$ définie au numéro précédent et la fonction $\mathrm {S} '$ que nous venons de déterminer ?

Nous avons

${\begin{aligned}d\mathrm {S} \,&=x_{1}dy_{1}+x_{2}dy_{2},\\d\mathrm {S} '&=x_{1}'dy_{1}'+x_{2}'dy_{2}',\end{aligned}}$

d’où, en tenant compte des équations (32),

$d\mathrm {S} '-d\mathrm {S} =d\Theta -d(y_{1}\theta _{1}),$

d’où

(36)

$\mathrm {S} '-\mathrm {S} =\Theta -y_{1}\theta _{1}.$

Comme $\mathrm {S} ',$ $\Theta$ et $\theta _{1}$ sont toujours finis ainsi que leurs dérivées, il en sera de même de $\mathrm {S}$ et de ses dérivées.

Il est aisé, en égalant dans (36) les coefficients des puissances semblables de ${\sqrt {\mu }},$ de calculer les fonctions $\mathrm {S} _{p}.$

En effet, nous avons écrit plus haut

(33)

$\mathrm {S} '=\mathrm {S} _{0}'+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}'+\mu \,\mathrm {S} _{2}'+\ldots ,$

mais ce développement est obtenu en supposant que les $S_{p}'$ sont exprimés en fonctions des variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}'\,;$ si l’on