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CHAPITRE XXI.
Considérons d’abord le cas ordinaire où alors étant
une fonction périodique de sera également une fonction périodique
de dont la période sera égale à la période réelle de l’intégrale
elliptique de Je pourrai donc écrire
étant une constante réelle dépendant de la période de l’intégrale
et étant un entier.
On en déduit
ou
et enfin, si et sont le module et l’argument de
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On voit que chacun des termes de est développable suivant
les puissances de On peut chercher à effectuer le développement
puis à réunir en un seul tous les termes qui contiennent en
facteur une même puissance de on obtiendra ainsi,
au point de vue formel, le développement de suivant les puissances
de soit
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On a
C’est au même résultat que l’on serait parvenu en appliquant la
méthode de M. Bohlin. On aurait développé suivant les puissances
de et l’on aurait trouvé
La fonction aurait été à son tour développable suivant les
puissances croissantes de et le coefficient de n’aurait été autre
chose que