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CHAPITRE IX.

Soit $\mathrm {S} ''$ une fonction des $y_{i}^{0}$ et de $n$ nouvelles constantes $x_{i}^{1},$ satisfaisant à cette équation. Si nous posons

(6)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} ''}{dy_{i}^{0}}}&=x_{i}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} ''}{dx_{i}^{1}}}&=y_{i}^{1},\end{aligned}}$

nous satisferons aux équations (4) en égalant les $x_{i}^{1}$ à des constantes et les $y_{i}^{1}$ à des fonctions linéaires du temps.

Si $\mathrm {S} ''$ n’est qu’une intégrale approximative de (5), nous n’aurons ainsi que des solutions approximatives des équations (4).

Telle est la méthode de la variation des constantes ; ce n’est pas tout à fait celle que nous avons appliquée au n^o 125 ; conservant l’équation (1), après en avoir trouvé une solution approximative, nous en cherchions une solution plus approchée encore. Soit $\mathrm {S} '''$ cette solution, qui dépendra des $y_{i}$ et de $n$ constantes $x_{i}^{1}.$ Si nous posons alors

(7)

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} '''}{dy_{i}}}&=x_{i},&{\frac {d\mathrm {S} '''}{dx_{i}^{1}}}&=y_{i}^{1},\end{aligned}}$

les $x_{i}^{1}$ seront des constantes et les $y_{i}^{1}$ des fonctions linéaires dû temps, soit exactement si $\mathrm {S} '''$ est une solution exacte de (1), soit approximativement si $\mathrm {S} '''$ n’est qu’une solution approchée. Pouvons-nous choisir $\mathrm {S} '''$ de telle façon que les équations (7) équivalent aux équations (3) et (6) ? Les équations (3) et (6) peuvent s’écrire

${\begin{alignedat}{4}d\mathrm {S} '&={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{0}\,dx_{i}^{0},\\d\mathrm {S} ''&={\textstyle \sum }x_{i}^{0}\,dy_{i}^{0}&{}+{}&{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1},\end{alignedat}}$

et les équations (7)

$d\mathrm {S} '''={\textstyle \sum }x_{i}\,dy_{i}+{\textstyle \sum }y_{i}^{1}\,dx_{i}^{1}.$

Il suffira donc de prendre

$\mathrm {S} '''=\mathrm {S} '+\mathrm {S} ''-{\textstyle \sum }x_{i}^{0}y_{i}^{0}\,;$

la méthode du n^o 125 ne diffère donc pas essentiellement de celle de M. Newcomb et ne présente sur elle d’autre avantage que celui d’éviter de trop nombreux changements de variables.