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CHAPITRE XI.

Cette série, développée suivant les puissances des quatre constantes $\Omega _{i}$ qui sont de l’ordre du carré des excentricités, satisfait formellement à l’équation (1).

Posons, comme au n^o 138,

${\begin{aligned}\mathrm {U} &=\Lambda \,\lambda _{1}+\Lambda '\,\lambda '_{1}+\mathrm {T} ,\\\mathrm {T} &=\mathrm {V} _{1}\omega _{1}+\mathrm {V} _{2}\omega _{2}+\mathrm {V} _{3}\omega _{3}+\mathrm {V} _{4}\omega _{4}+\mathrm {T} ',\end{aligned}}$

$\mathrm {T} '$ étant périodique par rapport aux $\omega ,$ et les $\mathrm {V} _{i}$ étant des constantes développables suivant les puissances croissantes des $\Omega _{i}.$

Les $\Omega _{i}$ sont inversement développables suivant les puissances des $\mathrm {V} _{i}\,;$ on peut aussi développer T suivant les puissances des $\mathrm {V} _{i}$ et la série ainsi obtenue satisfait encore formellement à l’équation (1).

Nous allons maintenant faire un changement de variables analogue à celui du n^o 138 [[[Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/75#Eq.138-3|équations (3)]], (4) et (5)].

Nous poserons donc

${\begin{aligned}\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}},&v_{i}&={\frac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}},&\lambda _{2}&=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},&\lambda '_{2}&=\lambda '_{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},&\end{aligned}}$

En remplaçant les variables anciennes

${\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda '_{1},&\omega _{i}\end{array}}$

par les nouvelles

${\begin{array}{ccc}\Lambda ,&\Lambda ',&\mathrm {V} _{i},\\\lambda _{2},&\lambda '_{2},&v_{i},\end{array}}$

on n’altère pas la forme canonique des équations.

On démontrerait comme dans le n^o 138 :

1^o Que les $\mathrm {V} _{i}$ sont de l’ordre du carré des excentricités ;

2^o Que les quantités $\rho _{i},$ $\lambda _{1}-\lambda _{2},$ $\lambda '_{1}-\lambda '_{2},$ $\omega _{i}-v_{i}$ sont des fonctions périodiques des $v_{i}\,;$

3^o Que $\mathrm {F}$ est développable par rapport aux puissances croissantes de $\mu ,$ des $\mathrm {V} _{i}$ et des ${\sqrt {\rho _{i}}},$ les $\rho _{i}$ étant eux-mêmes développables suivant les puissances croissantes des $\mathrm {V} _{i}\,;$

4^o Que $\mathrm {F}$ est une fonction périodique des $v_{i}$ de $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2}\,;$

5^o Que la valeur moyenne de $\mathrm {F} ,$ considérée comme fonction périodique des deux variables $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2},$ est égale à $\mathrm {R}$ et ne dépend que de $\Lambda ,$ $\Lambda '$ et des $\mathrm {V} _{i}.$