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APPLICATION AUX ORBITES.
De plus,
est développable suivant les puissances de
![{\displaystyle {\sqrt {\rho _{i}}}\cos \omega _{i},\quad {\sqrt {\rho _{i}}}\sin \omega _{i}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e073893c96266dd45e7763ad89dd880e1fcb5058)
et
![{\displaystyle \quad \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5c561900bf0048fd32a8a89c75bbcbc18adc0d2)
périodique en
et
enfin
ne dépend que de
et
La
fonction
définie au commencement de ce numéro, est tout à fait
analogue ; la variable
joue le rôle de
et
,
celui des
celui
de
et
celui des
On voit que
est développable suivant
les puissances de
![{\displaystyle {\sqrt {\Omega }}\cos \omega ,\quad {\sqrt {\Omega }}\sin \omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742e35030f2b0d7be7fb0263da5ef90f5189a795)
et que, pour
elle se réduit à ![{\displaystyle \Lambda .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f31ae3ac22be0a40c4c1321e4792374285282e)
L’analogie est donc évidente. Supposons qu’on veuille appliquer
à cette équation la méthode des Chapitres précédents, c’est-à-dire
chercher à intégrer l’équation aux dérivées partielles
(2)
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étant une constante d’intégration. Il s’agit de trouver une solution
de cette équation (2), qui soit développable suivant les puissances
de
et telle que
et
soient périodiques en
et en ![{\displaystyle \omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2243e2ce8b3865a78e46f7e554deb7b3aaa09490)
Pour cela posons
![{\displaystyle \omega +\lambda =\varphi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/047abfd0ccf0fdc91fe6d9d8e9658f164dcb4e3f)
l’équation (2) devient, avec les variables nouvelles
et ![{\displaystyle \varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aeb4baf1e617abd3f5384bab1851bf109ea0b614)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}+\mu \cos \varphi {\sqrt {\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}}+(1+\mu \,\mathrm {A} ){\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}=\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38b2ffd4cf809397d1f2c5c601c6b15512733bc8)
Soit
une constante d’intégration, et posons
![{\displaystyle {\begin{aligned}1+\mu \,\mathrm {A} &=\mathrm {B} ,&\mathrm {C} -\Lambda &=\mathrm {VB} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665b88ab9ece5250b6a0568a62ec83eace4625d8)
nous satisferons à notre équation en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}&=\Lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}&={\frac {2\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} \pm 2\mu \cos \varphi {\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}}{4\mathrm {B} ^{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8047feb68e636a60b0b621a03a1e861ad38b40c)
La fonction
ainsi définie satisfait bien à toutes les données
du problème, à une condition toutefois, c’est que le radical
![{\displaystyle {\sqrt {\mu ^{2}\cos ^{2}\varphi +4\mathrm {B} ^{2}\mathrm {V} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81a8c95c40e14003ea6dda873f8d2e4607e245c)