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APPLICATION AUX ORBITES.

dans les applications des quantités très petites, de l’ordre du carré des excentricités. Nous pouvons alors poser

$\mathrm {V} _{i}^{0}=\varepsilon ^{2}\mathrm {W} _{i}^{0},$

$\varepsilon$ étant une constante de l’ordre des excentricités, et les $\mathrm {W} _{i}^{0}$ étant des constantes finies. Si nous regardons un instant les $\mathrm {W} _{i}^{0}$ comme donnés, $\mathrm {S}$ dépendra encore de trois constantes arbitraires

$\Lambda _{0},\quad \Lambda '_{0}\quad$ et $\quad \varepsilon .$

On peut se demander alors si $\mathrm {S}$ est développable suivant les puissances de $\mu$ et de $\varepsilon .$

S’il en était ainsi, la solution exposée dans le Chapitre précédent serait toujours satisfaisante quelque petit que soit $\varepsilon ,$ c’est-à-dire quelque petites que soient les excentricités.

Mais il n’en est pas ainsi, comme nous allons le voir et comme l’exemple du numéro précédent permettait déjà de le prévoir. $\mathrm {S}$ est seulement développable suivant les puissances de ${\frac {\mu }{\varepsilon }}$ et de $\varepsilon .$ Il en résulte que la méthode n’est plus applicable, si ${\frac {\mu }{\varepsilon }}$ n’est pas très petit ; elle ne l’est donc pas, bien que les masses soient très petites, si les excentricités sont du même ordre que les masses.

Reprenons notre équation

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{i}}},\lambda _{2},\lambda '_{2},v_{i}\right)=\mathrm {C} ,$

que j’écrirai, pour abréger,

(2)

$\mathrm {F} (\mathrm {S} )=\mathrm {C} .$

Nous avons vu au n^o 139 que cette équation admet une solution particulière que nous avons appelée $\Sigma \,;$ on aura donc

$\mathrm {F} (\Sigma )=\mathrm {C} ',$

$\mathrm {C} '$ étant une constante.

Posons maintenant

$\mathrm {S} =\Sigma +\varepsilon ^{2}s,$

il viendra

(3)

$\mathrm {F} (\Sigma +\varepsilon ^{2}s)=\mathrm {C} .$