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APPLICATION AUX ORBITES.
sera également développable, de sorte que
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}(\Sigma +\varepsilon ^{2}s)=\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)+\mu \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e72d77d8f76c1f94a06a68c4d1db46b0794fbd1)
et il est clair que
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s),\\\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)&={\frac {d\Phi _{0}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda _{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda _{2}}}+{\frac {d\Phi _{1}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda '_{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda '_{2}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed46ae96d611801f7b084410ed8f460086d91c8)
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}),\\\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{1}^{\star }&=\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})+\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d8726b9db79224ee24ab7ce0348f60c04f5437)
ne dépend que de
et de
quand on aura substitué
à la place de
deviendra donc développable suivant
les puissances de
![{\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda _{2}}},\quad \varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda '_{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757cb5f14f7be19be49a08ade6e1c66e6f6d5ec0)
d 'où il résulte que
![{\displaystyle \Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{0}(0),\quad \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42fd769c27f6f5df1b7badfd7d5ecdcbe4bb037a)
sont divisibles par
et ne dépendent d’ailleurs pas des
Il
résulte d’abord de là que
est développable suivant les puissances
positives et croissantes de ![{\displaystyle \varepsilon ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce0cb51b16bd043aa3ad00f662f8ba6549cdde83)
Au contraire, comme le développement de
contient des
termes du premier degré en
sera développable
non pas suivant les puissances de
mais suivant celles de
Le
développement de la différence
![{\displaystyle \mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61babcf98df33c483d7c0c86b941fb8c2e8537b0)
commencera par un terme en ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
D’où cette conséquence :
est développable suivant les puissances
croissantes de
mais le développement commence par un
terme en
Observons maintenant que
est une fonction périodique en
et
et proposons-nous d’en déterminer la valeur moyenne