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APPLICATION AUX ORBITES.

$\mathrm {F} _{0}(\Sigma +\varepsilon ^{2}s)$ sera également développable, de sorte que

$\mathrm {F} _{0}(\Sigma +\varepsilon ^{2}s)=\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)+\mu \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)+\ldots ,$

et il est clair que

${\begin{aligned}\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s),\\\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)&={\frac {d\Phi _{0}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda _{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda _{2}}}+{\frac {d\Phi _{1}}{\varepsilon ^{2}d{\dfrac {ds}{d\lambda '_{2}}}}}{\frac {d\Sigma _{1}}{d\lambda '_{2}}}\cdot \end{aligned}}$

On aura donc

${\begin{aligned}\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{0}^{\star }&=\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{0}(\Sigma _{0}),\\\varepsilon ^{2}\mathrm {F} _{1}^{\star }&=\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})+\Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0).\end{aligned}}$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}}$ et de ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}\,;$ quand on aura substitué $\Sigma +\varepsilon ^{2}s$ à la place de $\mathrm {S} ,$ $\mathrm {F} _{0}$ deviendra donc développable suivant les puissances de

$\varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda _{2}}},\quad \varepsilon ^{2}{\frac {ds}{d\lambda '_{2}}},$

d 'où il résulte que

$\Phi _{0}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{0}(0),\quad \Phi _{1}(\varepsilon ^{2}s)-\Phi _{1}(0),$

sont divisibles par $\varepsilon ^{2},$ et ne dépendent d’ailleurs pas des ${\frac {ds}{dv_{i}}}\cdot$ Il résulte d’abord de là que $\mathrm {F} _{0}^{\star }$ est développable suivant les puissances positives et croissantes de $\varepsilon ^{2}.$

Au contraire, comme le développement de $\mathrm {F} _{0}^{\star }$ contient des termes du premier degré en ${\sqrt {\rho _{i}}},$ $\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)$ sera développable non pas suivant les puissances de $\varepsilon ^{2},$ mais suivant celles de $\varepsilon .$ Le développement de la différence

$\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0}+\varepsilon ^{2}s)-\mathrm {F} _{1}(\Sigma _{0})$

commencera par un terme en $\varepsilon .$

D’où cette conséquence : $\mathrm {F} _{1}^{\star }$ est développable suivant les puissances croissantes de $\varepsilon ,$ mais le développement commence par un terme en ${\frac {1}{\varepsilon }}\cdot$

Observons maintenant que $\mathrm {F} _{1}^{\star }$ est une fonction périodique en $\lambda _{2}$ et $\lambda _{2}',$ et proposons-nous d’en déterminer la valeur moyenne $\mathrm {R} ^{\star }.$