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CHAPITRE XXVI.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Les nombres $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\ldots$ sont donc tous plus petits que

${\frac {\mathrm {V} }{\mathrm {E} }}-1.$

Ils ne peuvent donc croître au delà de toute limite et nous pouvons conclure que, dans la suite des nombres $\alpha ,$ $\beta ,\,\ldots ,$ à partir d’un certain rang, tous les termes sont égaux entre eux.

Supposons qu’à partir du $p$^e rang, tous ces termes soient égaux à $\lambda .$

Alors $\mathrm {U} _{0}^{(p)}$ et $\mathrm {U} _{\lambda }^{(p)}$ auront une partie commune qui sera $\mathrm {U} _{0}^{(p+1)},$ $\mathrm {U} _{0}^{(p+1)}$ et $\mathrm {U} _{\lambda }^{(p+1)}$ auront une partie commune qui sera $\mathrm {U} _{0}^{(p+2)}$ et ainsi de suite.

Soit $\mathrm {E} _{\lambda }$ le $\lambda$^e conséquent de $\mathrm {E} .$

$\mathrm {E}$ est l’ensemble des points qui font partie à la fois de $\mathrm {U} _{0},$ $\mathrm {U} _{0}',$ $\mathrm {U} _{0}'',\,\ldots ,$ ad inf. ; $\mathrm {E} _{\lambda }$ sera l’ensemble des points qui font partie à la fois de $\mathrm {U} _{\lambda },$ $\mathrm {U} _{\lambda }',$ $\mathrm {U} _{\lambda }'',\,\ldots \,;$ je pourrais dire aussi que $\mathrm {E}$ est l’ensemble des points qui font partie à la fois de

(1)

$\mathrm {U} _{0}^{(p+1)},\quad \mathrm {U} _{0}^{(p+2)},\quad \ldots$

puisque chacune des régions $\mathrm {U} _{0},\,\mathrm {U} _{0}',\,\ldots$ n’est qu’une portion de la précédente. De même $\mathrm {E} _{\lambda }$ est l’ensemble des points qui font partie à la fois de

(2)

$\mathrm {U} _{\lambda }^{(p)},\quad \mathrm {U} _{\lambda }^{(p+1)},\quad \ldots$

Mais $\mathrm {U} _{0}^{(p+1)}$ est une partie de $\mathrm {U} _{\lambda }^{(p)},$ $\mathrm {U} _{0}^{(p+2)}$ est une partie de $\mathrm {U} _{\lambda }^{(p+1)},\,\ldots \,;$ chaque terme de la série (2) est une partie du terme correspondant de la série (1). Donc $\mathrm {E}$ est une partie de $\mathrm {E} _{\lambda }$ ou coïncide avec $\mathrm {E} _{\lambda }.$

Or, nous avons supposé que $\mathrm {E}$ était une certaine région de l’espace ayant un volume fini. Le fluide étant incompressible, son $\lambda$^e conséquent $\mathrm {E} _{\lambda }$ devra être aussi une certaine région de l’espace ayant le même volume. $\mathrm {E}$ ne peut donc être une partie de $\mathrm {E} _{\lambda }.$ Donc $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} _{\lambda }$ coïncident.

Si donc on suppose que $\mathrm {E}$ soit une certaine région de l’espace ayant un volume fini, il faut admettre que $\mathrm {E}$ coïncide avec l’un de ses conséquents.

295. Voici quelques théorèmes qui sont presque évidents et