Quelque petit que soit quelque grand que soit on pourra toujours prendre assez grand pour que le second membre de cette inégalité soit aussi petit que l’on veut. Donc, quand tend vers l’infini, tend vers zéro.
Donc, la probabilité pour qu’une molécule qui, à l’origine du temps, se trouve dans la région ne traverse pas cette région plus de fois entre les époques et 0, cette probabilité, dis-je, est infiniment petite.
De même, est infiniment petite la probabilité pour que cette molécule ne traverse pas cette région, plus de fois entre les époques 0 et
Faisons maintenant La probabilité pour que notre molécule ne traverse pas plus de fois, entre les époques et 0, sera plus petite que
Elle tend donc vers zéro quand croît indéfiniment.
La probabilité pour que notre molécule ne traverse pas une infinité de fois, entre les époques et 0, est donc infiniment petite.
Et, en effet, cette probabilité est la somme des probabilités pour que la molécule traverse une fois seulement, pour qu’elle traverse deux fois et deux fois seulement, pour qu’elle traverse trois fois et trois fois seulement, etc.
Or, la probabilité pour que la molécule traverse fois et fois seulement, entre les époques et 0, est évidemment plus petite que la probabilité pour qu’elle traverse fois ou moins de fois entre les époques et 0, plus petite par conséquent que
La probabilité totale est donc plus petite que
La série du second membre est uniformément convergente. Chacun des termes tend vers zéro quand tend vers l’infini. Donc
