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CHAPITRE XXVII.
Imaginons qu’on ait intégré les équations (2) et qu’on en présente
la solution sous la forme suivante
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=f_{1}(\omega ,a,b),&z&=f_{2}(\omega ,a,b).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f478741484befe8300242e79416071c9d64a9b8)
Les lettres
et
représentent des constantes d’intégration.
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}&=f_{1}(\;0,\;a,b),&z_{0}&=f_{2}(\;0,\;a,b),\\\rho _{1}&=f_{1}(2\pi ,a,b),&z_{1}&=f_{2}(2\pi ,a,b).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70c99a650588d7959ac0ba1bf0448f4015ca643c)
Soient
le point dont les coordonnées sont
![{\displaystyle x=\rho _{0},\quad y=0,\quad z=z_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746227581c3d276e93f72d6733e6b3bce737bbac)
et
celui dont les coordonnées sont
![{\displaystyle x=\rho _{1},\quad y=0,\quad z=z_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c539e2ee50c1e9eb717d4d5e4126bafc0547e0bb)
Ces deux points appartiennent tous deux au demi-plan des
situé du côté des
positifs.
Le point
sera dit le conséquent de
Ce qui justifie cette dénomination, c’est que, si l’on considère
le faisceau des courbes qui satisfont aux équations différentielles (1) ;
si, par le point
on fait passer une courbe et qu’on
la prolonge jusqu’à ce qu’elle rencontre de nouveau le demi-plan
cette nouvelle rencontre aura lieu en
Si l’on trace dans ce demi-plan une figure quelconque
les
conséquents des différents points de
formeront une figure
que l’on appellera la conséquente de
Il est clair que
et
sont des fonctions continues de
et
de
Donc, la conséquente d’une courbe continue sera une courbe
continue, celle d’une courbe fermée sera une courbe fermée, celle
d’une aire
fois connexe sera une aire
fois connexe.
Supposons maintenant que les trois fonctions
et
soient
liées par la relation
![{\displaystyle {\frac {d\,\mathrm {MX} }{dx}}+{\frac {d\,\mathrm {MY} }{dy}}+{\frac {d\,\mathrm {MZ} }{dz}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c56cf409f0c3b0b30f034b33e1604cdf337f17)
où
est une fonction positive et uniforme de ![{\displaystyle x,\,y,\,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79380584a7e07a6e498d1b5aac2483389009b3b)
Les équations (1) admettront alors l’invariant intégral
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f76cfaa39d1c0b878652655727c6dda0182a6a1)