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CHAPITRE XXVII.
suffisamment prolongée, les résultats seront encore applicables à
la portion de cette courbe qui est intérieure à ce domaine.
311.Considérons maintenant, au lieu d’un domaine plan
une aire courbe simplement connexe. Par un point de cette
aire courbe faisons passer une courbe satisfaisant aux équations (1)
et prolongeons cette courbe jusqu’à ce qu’elle rencontre
de nouveau le nouveau point d’intersection pourra encore
s’appeler le conséquent de
Si nous considérons deux points, et très voisins l’un de
l’autre, leurs conséquents seront, en général, très voisins l’un de
l’autre ; il y aurait exception si le point se trouvait sur le bord
de ou si la courbe touchait la surface au point ou au
point Sauf ces cas d’exception, les coordonnées de sont
des fonctions analytiques des coordonnées de
Pour éviter ces cas d’exception, je considérerai un domaine
faisant partie de et tel que la courbe issue d’un point
intérieur à vienne recouper en un point qui ne vienne
jamais sur le bord de tel aussi que la courbe ne touche ni
en ni en Je supposerai enfin que ce domaine est simplement
connexe.
Adoptons un système particulier de coordonnées que j’appellerai,
par exemple, et et pour lesquelles je supposerai seulement
ce qui suit :
1o Quand et seront plus petits que 1, les coordonnées
rectangulaires et seront des fonctions analytiques et
uniformes de et qui seront périodiques de période par
rapport à
2o À un point de l’espace ne pourra correspondre plus
d’un système de valeurs de tel que
(λ)
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3o Quand on fait ou et qu’on fait varier et
de à le point décrit la surface ou une portion
de cette surface comprenant le domaine
4o Des conditions (1) et (2) il résulte que le déterminant fonctionnel
de par rapport à n’est jamais infini ni nul
quand les inégalités (λ) sont remplies.