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DIVERSES FORMES DU PRINCIPE DE MOINDRE ACTION.

où $\varphi _{2},\,\psi _{2},\,\varphi _{3}$ et $\psi _{3}$ sont des fonctions de $t$ qui changent de signe quand $t$ se change en $t+\mathrm {T}$ et qui seront réelles.

Il vient alors

$\zeta (t)=e^{2\alpha 't}{\frac {\xi _{1}\psi _{2}-\eta _{1}\varphi _{2}}{\xi _{1}\psi _{3}-\eta _{1}\varphi _{3}}}=e^{2\alpha 't}\mathrm {G} (t).$

Le numérateur et le dénominateur de $\mathrm {G}$ sont des fonctions de $t$ qui changent de signe quand $t$ se change en $t+\mathrm {T} .$

On est donc certain que ces deux fonctions s’annulent, et par conséquent qu’il en est de même de

$\xi _{1}\eta _{2}-\eta _{1}\xi _{2},\quad \xi _{1}\eta _{3}-\eta _{1}\xi _{3}.$

Ces deux dernières fonctions satisfont à une même équation différentielle linéaire du second ordre dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $t$ ne devenant pas infinies, le coefficient de la dérivée seconde se réduisant à une constante. Ces deux fonctions ne peuvent s’annuler à la fois ; car si deux intégrales d’une pareille équation linéaire s’annulaient à la fois, elles ne pourraient différer que par un facteur constant. Or $\zeta (t)$ n’est pas une constante.

Le numérateur et le dénominateur de $\zeta (t)$ s’annulent donc tous deux et ne s’annulent pas à la fois ; donc $\zeta (t)$ ${\big [}$et par conséquent $\mathrm {G} (t){\big ]}$ peut s’annuler et devenir infini.

Toutes les solutions instables en question sont donc de la deuxième catégorie ; à part cela, il n’y a rien à changer à ce qui précède.