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PROPRIÉTÉS DES SOLUTIONS DU DEUXIÈME GENRE.
une boucle 
infiniment peu différente de la boucle 
et
ayant son point anguleux en 
soient 
et 
deux arcs
de cette boucle.
De 
et de 
j’abaisse deux normales 
et 
sur
et sur 
D’après un théorème bien connu, l’action le long de
depuis le point jusqu’au point 
sera égale à l’action le long
de depuis le point 
jusqu’à 
On aura donc
ou
ou enfin
ce qui est absurde, puisque a été supposé correspondre au
minimum de l’action.
Si l’on supposait
on arriverait à la même absurdité en plaçant 
à droite de 
On doit donc supposer
c’est-à-dire que les deux arcs se raccordent.
Le même raisonnement est applicable au cas du maximum.
Chaque série de boucles contient donc au moins deux trajectoires fermées.
Chacune de ces trajectoires fermées fait 
fois le tour
de 
et coupe en 
points. Pour 
d’entre eux, l’angle
analogue à 
est positif et, pour les autres, il est négatif ; et,
en effet, la courbe étant fermée, doit couper autant de
fois dans un sens que dans l’autre.
Donc, cette trajectoire fermée peut être regardée comme une
boucle de manières différentes ; car nous pouvons regarder
l’un quelconque de nos points d’intersection comme le point
anguleux ; pour de ces manières, la boucle ainsi définie appartiendra
à la première série et pour les autres à la seconde.
Parmi les boucles de chaque série, il y en a donc non pas deux,
