Seulement ces nouvelles ellipses différeront beaucoup des anciennes ; les périhélies et les nœuds auront subi des variations considérables.
Je désignerai sous le nom de choc ce phénomène, bien qu’il ne s’agisse pas d’un choc au sens propre du mot, puisque les deux planètes ne viennent pas au contact et qu’il suffit que leur distance devienne assez petite pour que l’attraction soit sensible malgré la petitesse des masses.
Quoi qu’il en soit, si l’on tient compte de ces orbites avec chocs, il n’est plus vrai de dire que, pour les périhélies et les nœuds sont fixes et que, par conséquent, les nombres et doivent être nuls.
Nous sommes ainsi conduits à penser que les solutions de deuxième espèce existent et que, si l’on fait tendre vers zéro, elles tendent à se réduire à des orbites avec une série de chocs. Mais cet aperçu ne saurait suffire et un examen plus approfondi est nécessaire.
387.Rendons-nous compte d’abord de l’effet d’un choc ; soient et les ellipses décrites par la première planète avant et après le choc ; soient et les ellipses décrites par la seconde planète. Il est clair que ces quatre ellipses doivent se couper en un même point et de telle façon que les deux planètes en décrivant ces quatre orbites passent au point de rencontre à l’instant du choc.
En effet, tant que leur distance est sensible, les deux planètes décrivent des courbes peu différentes d’une ellipse ; pendant le temps très court où leur distance est très petite, elles décrivent au contraire des orbites très différentes d’une ellipse. Ces orbites se réduisent à de petits arcs de courbe de rayon de courbure très petit et très peu différents d’arcs d’hyperbole. À la limite, le temps très court du choc se réduit à un instant ; les petits arcs se réduisent à un point et l’orbite, se réduisant à deux arcs d’ellipse, présente un point anguleux.
Pour achever de définir les orbites il faut connaître en grandeur et en direction les vitesses des deux planètes et avant et après le choc. Quelles relations y a-t-il entre ces vitesses ? J’observe d’abord que la vitesse du centre de gravité des
